特殊直角三角形

特殊直角三角形是一些有特殊性质的直角三角形，其特殊性质可能是使三角形的计算更加方便，或是存在一些较简单的公式。例如有些三角形的内角有一些简单的关系，例如45–45–90度三角形，这是各角有特殊关系的直角三角形。也有些直角三角形的各边有特殊关系，例如各边的比例可以用自然数表示，例如3 : 4 : 5，或是可以用黄金比例表示等。若在处理这些三角形时知道其特殊的边关系或角关系，可以快速的计算一些几何问题而不需用到一些较复杂的公式。

用欧拉图表示三角形中一些特殊的三角形

各角有特殊关系

45–45–90度三角形及30–60–90度三角形都是有特殊角的直角三角形，角度分别是30度及45度的倍数

直角三角形的各角有其基本关系：最大角（直角）为90度，也等于另外二角的和。但有些直角三角形的各角还有其他特殊关系。

直角三角形的边长一般会用单位圆或其他几何方式推导而成，若角度为30°, 45°或60°，其三角函数的数值计算会比其他的角度会简单很多。

以下是一些特殊角的三角函数

角度	弧度	sin	cos	tan
0	0	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {0}}{2}}=0}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=1}$	${\displaystyle 0}$
30	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {1}}{2}}={\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}}$
45	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle 1}$
60	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {1}}{2}}={\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
90	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=1}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {0}}{2}}=0}$	${\displaystyle \infty }$

45–45–90

30–60–90

45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三种莫比乌斯三角形，任一内角都可以找到对应整数，使内角和整数的乘积为180，参照三角形群（英语：Triangle group）。

45–45–90度三角形

45–45–90度三角形的边长

在平面几何中，将正方形绘制一条对角线会产生一个角度比例为${\displaystyle 1:1:2}$的三角形，而内角和为180度（或是${\displaystyle \pi }$弧度），因此各角角度为45° （${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$）、45° （${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$）和90° （${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$）。依毕氏定理可得其边长比例为${\displaystyle 1:1:{\sqrt {2}}}$，因此45–45–90度三角形为等腰直角三角形。若绘制45–45–90度三角形斜边的中线，中线会将45–45–90度三角形分割为另外二个较小的45–45–90度三角形，边长是原来的${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$。

45–45–90度三角形为等腰直角三角形，在平面几何中，这也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不过在球面几何学或双曲几何中，有无限种也是等腰三角形的直角三角形。

30–60–90 度三角形

30–60–90度三角形的边长

若三角形各角的比例是${\displaystyle 1:2:3}$，其各角角度会是30°、60°和90°。各边的比例会是${\displaystyle 1:{\sqrt {3}}:2}$。

使用三角函数可以证明上述的事实．利用几何学的证明如下：

绘制边长为2的正三角形${\displaystyle ABC}$，并令${\displaystyle D}$点为线段${\displaystyle BC}$的中点。连接线段${\displaystyle AD}$，则三角形${\displaystyle ABD}$为 30–60–90度三角形，其斜边长度为2，一股${\displaystyle BD}$长度为1。

另一股${\displaystyle AD}$的长度为${\displaystyle {\sqrt {3}}}$，可以由毕氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面几何中唯一一个角度呈等差数列的直角三角形。其证明很简单：假设三个角的角度为等差数列，可以表示为为${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \alpha +\delta }$, ${\displaystyle \alpha +2\delta }$，因为内角和为180°，可得${\displaystyle 3\alpha +3\delta =180^{\circ }}$，其中有一角会是60度，而且最大角需为90度，因此最小角会是30度。

角度呈等比数列的直角三角形

在平面几何中，30–60–90度三角形是唯一一个角度呈等差数列的直角三角形，角度呈等比数列的直角三角形也只有一种，其角度为${\displaystyle {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}}$^[1]、${\displaystyle {\frac {\pi }{2\varphi }}}$、${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$，其中公比为黄金比例${\displaystyle \varphi }$。三个内角的比例为${\displaystyle 1:\varphi :\varphi ^{2}.\,}$。

根据正弦定律，各边的比例会是${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}:\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}:1}$。因为各边长的关系也要满足毕氏定理，因此可得${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi }}=1}$^{[注 1]}。

各边有特殊关系

主条目：勾股数

若三角形各边为整数，三角形的三边称为勾股数，其各角的角度不会是整数^[2]。这类的直角三角形容易记忆，而且三角形的各边比例只要一様，即为相似三角形，就会有一様的特质。利用欧几里得产生勾股数的公式，勾股数的比例比必定满足以下的关系

${\displaystyle m^{2}-n^{2}:2mn:m^{2}+n^{2}\,}$

其中${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$均为正整数，而且${\displaystyle m>n}$。

常见的勾股数

以下是前五个勾股数：

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41

其中${\displaystyle 3:4:5}$三角形是唯一边长呈等差数列的直角三角形，在埃及称为“埃及三角形”^[3]。由勾股数的有理数组成的三角形都是海伦三角形，表示其边长和面积都是有理数。

以下是所有二股都小于256的互质勾股数组：

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41
11:	60	:61
12:	35	:37
13:	84	:85
15:	112	:113
16:	63	:65
17:	144	:145
19:	180	:181
20:	21	:29
20:	99	:101
21:	220	:221

24:	143	:145
28:	45	:53
28:	195	:197
32:	255	:257
33:	56	:65
36:	77	:85
39:	80	:89
44:	117	:125
48:	55	:73
51:	140	:149

52:	165	:173
57:	176	:185
60:	91	:109
60:	221	:229
65:	72	:97
84:	187	:205
85:	132	:157
88:	105	:137
95:	168	:193
96:	247	:265

104:	153	:185
105:	208	:233
115:	252	:277
119:	120	:169
120:	209	:241
133:	156	:205
140:	171	:221
160:	231	:281
161:	240	:289
204:	253	:325
207:	224	:305

斐波那契三角形

从5开始，斐波那契数列中的第6项、第8项、第10项……等偶数项（假设0为第1项）{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 为边长为整数的直角三角形的斜边，也就是勾股数中最大的一项。二股中较长的一股为上一个斐波那契三角形的三边和，较短一股为跳过的斐波那契数减去上一个斐波那契三角形的最短边。

第一个斐波那契三角形边长为5, 4和3。跳过数字8，下一个斐波那契三角形边长为13, 12（5 + 4 + 3）和5（8 − 3）。跳过数字21，下一个三角形边长为34, 30（13 + 12 + 5）和16（21 − 5）。此数列会一直延伸，最后会趋近以下的比值：

${\displaystyle 1:2:{\sqrt {5}}.}$

Andrew Clarke建议将长度比例为${\displaystyle 1:2:{\sqrt {5}}}$的三角形称为dom，因为此三角形可以由二格骨牌（domin）延对角线切割而成，此三角形是约翰·何顿·康威及查尔斯·雷丁（英语：Charles Radin）提出的非周期性（英语：aperiodic tiling）风车贴砖（英语：pinwheel tiling）的基础。

几乎等腰的直角三角形

等腰直角三角形的三边不可能都是整数，但存在无限个“几乎等腰”的直角三角形，也就是直角三角形的边长为整数，而且二股长度只差一^[4]。这类几乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程递回求解而得：

${\displaystyle a_{0}=1}$, ${\displaystyle b_{0}=2}$

${\displaystyle a_{n}=2b_{n-1}+a_{n-1}}$

${\displaystyle b_{n}=2a_{n}+b_{n-1}}$

${\displaystyle a_{n}}$为斜边的长度，${\displaystyle n=1,2,3,\cdots }$。最小的几个三角形如下

3 :	4	: 5
20 :	21	: 29
119  :	120	: 169
696  :	697	: 985
4059  :	4060	: 5741
23660  :	23661	: 33461

各边呈等比数列的三角形

开普勒三角的三边分别组成的正方形，面积呈等比数列，其公比为黄金比例

主条目：开普勒三角

开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于${\displaystyle 1:{\sqrt {\phi }}:\phi }$，为等比数列，其中${\displaystyle \phi }$是黄金比，${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$。德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。

相关条目

• 整数三角形（英语：Integer triangle）
• 螺旋特奥多鲁斯（英语：Spiral of Theodorus）
• 直角三角形