等腰梯形

在几何学中，等腰梯形是一种凸四边形，其存在一对互相平行的边和一个能把这对边平分的对称轴，为梯形中的一个特例。由于其可以定义为两侧边（又称腰）等长且两底角相等的梯形^[1]，因此称为等腰梯形。由于等腰梯形需要两底角相等且在一对平行边上要存在一个对称轴的条件，因此非矩形的平行四边形都不是等腰梯形。任何等腰梯形都会满足一对边互相平行（上底与下底）且两侧边（两腰）等长，且对角线等长，并且两组底角相等且互补。^[2]

等腰梯形
等腰梯形与其对称轴
类型	四边形 梯形
对偶	筝形
边	4
顶点	4
对称群	Dih2, [ ], (*), 2阶
特性	凸, 环形

特例

等腰梯形的特例

矩形和正方形通常会被认为是等腰梯形的特例，不过在部分使用严格定义的文献中则不会将矩形和正方形归类为等腰梯形。^[3]

三等边梯形

其他常见的特例包括了三条边等长的三等边梯形^[4]，例如5边或以上的正多边形的连续4个顶点组成的四边形即属此类。^[5]

交叉等腰梯形

任何具有恰好一个对称轴的非自相交四边形必须是等腰梯形或筝形^[6]。

但若考虑到边自相交的情况，则恰好一个对称轴的的四边形又要再多考虑下列几种情况：如有一对边平行，另一对边等长且交叉的交叉等腰梯形和两对边等长且其中一对边相交但没有任何一对边平行的反平行四边形。而交叉等腰梯形和反平行四边形的凸包都是等腰梯形^[7]

凸等腰梯形	交叉等腰梯形	反平行四边形

性质

等腰梯形具有如下性质^[1]：

1. 两条对角线相等。
2. 同一底上的二内角相等。
3. 对角互补，四顶点共圆。

依据以上性质，判定一个四边形是等腰梯形可以通过以下命题：

1. 两腰相等的梯形是等腰梯形^[2]。
2. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形^[8]。
3. 同一底上的二内角相等的梯形是等腰梯形^[2]。

尺寸

已知底边长和侧边长的等腰梯形则可以确定其大小，包括外接圆半径、高和面积等特性^[2]。

已知等腰梯形底边长为a和b、侧边为c，则高h为^[2]：

${\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-{\tfrac {1}{4}}{\left(b-a\right)}^{2}}}}$

面积

等腰梯形的面积计算方式与梯形相同，皆为上底加下底乘高除以二，但由于在等腰梯形中，已知侧边即可求得高，因此已知等腰梯形底边长为a和b、侧边为c，则面积为^[2]：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\left(a+b\right)}{\sqrt {c^{2}-{\tfrac {1}{4}}{\left(b-a\right)}^{2}}}}$

外接圆

等腰梯形的外接圆半径为^[9]

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}$：

若为矩形，则a = b可以进一步将式子化简为${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$^[10]。

对偶

筝形与其对偶的等腰梯形

等腰梯形的对偶多边形是筝形，其对偶性质有：

等腰梯形	筝形
两对邻角两两相等	两对邻边两两相等
一对对边相等	一对对角相等
一条对称轴平分一对对边	一条对称轴平分一对对角
存在外接圆	存在内切圆
伐里农平行四边形为菱形	伐里农平行四边形为矩形

参见

• 梯形
• 等腰三角形
• 反平行四边形