随机测度

在概率论中，随机测度是测度值的随机元素。 随机测度可应用于随机过程理论中，随机测度形成了许多重要的点过程，例如泊松点过程和考克斯过程（英语：Cox process）。

定义

随机测度可以定义为转移核或随机元素。对于一些标准情况（其中的具体要求如可测空间是博雷尔空间），这两种定义是等价的。

作为转移核

对于可测空间 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})}$ ，称 ${\displaystyle \zeta }$ 是一个 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ 到 ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ 的转移核，是指它是一个二元函数 ${\displaystyle \zeta :S\times {\mathcal {T}}\to \mathbb {R} ^{+}}$ （值域可能根据考虑的测度的类型而改变，如有符号测度），且满足以下性质：

• 若在第二变元处填充任一固定的可测集 ${\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {S}}}}$ ，所得到的映射 ${\displaystyle s\mapsto \zeta (s,B)}$ 是 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ 上的可测函数。

• 若在第一变元处填充任一固定的元素 ${\displaystyle s\in S}$ ，所得到的映射 ${\displaystyle B\mapsto \zeta (s,B)}$ 是 ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ 上的一个测度。

对于 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})}$ 为博雷尔空间的情况，局部有限转移核可视作随机元素。

随机测度则定义为一个概率空间 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ 到一个可测空间 ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ 的（几乎必然）局部有限转移核。

在随机过程的背景下，马尔可夫核（也称随机核、概率核）的概念与此相关。

作为随机元素

在前文中，“在第一变元处填充一固定的元素”的结果是得到了一个测度。实际上填充这个变元过程本身所给出的映射也是一个^{[注 1]} ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ 到 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}}$ 的可测函数，其中 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}}$ 是 ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ 上的局部有限测度所构成的空间。

全体局部有限测度构成的集合 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}}$ 若要构成可测空间，须配备一个σ-代数。

对于任一有界可测集合 ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ ，可定义求值映射（也称投影映射）

${\displaystyle \pi _{\tilde {B}}:{\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}\to \mathbb {R} :\mu \mapsto \mu ({\tilde {B}}).}$

可构造出令全体投影映射成为可测函数的最小σ-代数，称为 ${\displaystyle \{\pi _{\tilde {B}}\}}$ 生成的（或诱导的）σ-代数。

随机测度即是一个概率空间 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ 到测度所构成的上述可测空间的随机元素。^[1][2][3]

基本相关概念

强度测度

对于给定随机测度 ${\displaystyle \zeta }$ 和任一正可测函数 ${\displaystyle f}$ ，满足

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}$

的测度 ${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$ 被称为 ${\displaystyle \zeta }$ 的强度测度。强度测度对于每个随机测度都存在，并且是s-有限测度。

支撑测度

对于给定的随机测度 ${\displaystyle \zeta }$ 和任一正可测函数 ${\displaystyle f}$ ，满足

${\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}$

的测度 ${\displaystyle \nu }$ 被称为 ${\displaystyle \zeta }$ 的支撑测度。所有随机测度都有支撑测度，并且可以选择为有限的。

拉普拉斯变换

给定随机测度 ${\displaystyle \zeta }$ ，可定义任一正可测函数 ${\displaystyle f}$ 的拉普拉斯变换如下

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right].}$

基本性质

积分的可测性

给定随机测度 ${\displaystyle \zeta }$ ，正的 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-可测函数 ${\displaystyle f}$ 的积分

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

和${\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

是可测的，所以它们是随机变量。

唯一性

随机测度的分布由以下一族积分的分布唯一确定

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x),}$

其中 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle E}$ 上的紧支撑连续函数。对于给定的一个生成 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ （即 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}}$ ）的半环 ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$ ，随机测度的分布也由所有正简单 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-可测函数 ${\displaystyle f}$ 唯一确定。^[4]

分解

一个测度通常可以分解为：

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

这里 ${\displaystyle \mu _{d}}$ 是弥散测度，而 ${\displaystyle \mu _{a}}$ 是一种纯原子测度。

随机计数测度

具有下列形式的随机测度称为点过程或随机计数测度：

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},}$

其中 ${\displaystyle \delta }$ 是狄拉克测度、 ${\displaystyle X_{n}}$ 是随机变量。该随机测度描述了${\displaystyle N}$ 个粒子的集合，其位置由（通常是向量值的）随机变量 ${\displaystyle X_{n}}$ 给出。计数测度没有弥散分量 ${\displaystyle \mu _{d}}$ 。

在上述的形式记号中，随机计数测度是从概率空间到可测空间 ${\displaystyle (N_{X},{\mathfrak {B}}(N_{X}))}$ 的映射。这里 ${\displaystyle N_{X}}$ 是全体有界有限整数值测度（称为计数测度）${\displaystyle N\in M_{X}}$ 所构成的空间。

期望测度、拉普拉斯泛函、矩测度和随机测度的平稳性的定义是基于点过程的定义。随机测度在蒙特卡罗方法的描述和分析中很有用，例如蒙特卡罗数值求积法和粒子滤波器。^[5]

参见

• 泊松过程
• 向量测度

参考资料

• Grandell, Jan. Point processes and random measures. Advances in Applied Probability. 1977-09, 9 (3): 502–526. doi:10.2307/1426111.