2的12次方根

2的12次方根是一个代数无理数，计为${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$或${\displaystyle 2^{\frac {1}{12}}}$，是方程式${\displaystyle x^{12}-2=0}$的正实根。它是音乐理论中的一个重要常数，它代表了十二平均律中半音的频率比。

2的12次方根

2的12次方根
数表—无理数 ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}$ - ${\displaystyle \color {blue}e}$ - ${\displaystyle \color {blue}\pi }$
识别
种类	无理数
符号	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$
位数数列编号	A010774
性质
连分数	[1; 16, 1, 4, 2, 7, 1, 1, 2, 2, 7, 4, 1, 2, 1, 60, 1, 3, 1, 2]
以此为根的多项式或函数	${\displaystyle x^{12}-2=0}$
表示方式
值	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}\approx }$1.05946309...
二进制	1.00001111001110001111100100101101…
十进制	1.05946309435929526456182529494634…
十六进制	1.0F38F92D97962CBCB533704A0D391B84…

数值

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$的近似值为1.0594630943593，其值略高于${\displaystyle {\frac {18}{17}}}$^[1] ≈ 1.0588。更好的近似值为${\displaystyle {\frac {196}{185}}}$ ≈ 1.059459或${\displaystyle {\frac {18904}{17843}}}$ ≈ 1.0594630948。

性质

• 方程式${\displaystyle x^{12}-2=0}$的正实根
• 超体积为2的12维超立方体之边长
• 其值约为1.0594630943593 （OEIS数列A010774）
• 其连分数为：

  ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=1+{\frac {1}{16+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$（OEIS数列A103922）

半音音阶

因为音程是频率的比例，等于平均律半音音阶划分八度（具有2:1的比例）成12等份。

利用此比值，以半音音阶的音调从最接近且高于中央C的A以频率440开始，产生音高的顺序与波的频率如下：

音符	频率 Hz	倍率	系数 （六处）
A	440.00	20/12	1.000000
A♯/B♭	466.16	21/12	1.059463
B	493.88	22/12	1.122462
C	523.25	23/12	1.189207
C♯/D♭	554.37	24/12	1.259921
D	587.33	25/12	1.334839
D♯/E♭	622.25	26/12	1.414213
E	659.26	27/12	1.498307
F	698.46	28/12	1.587401
F♯/G♭	739.99	29/12	1.681792
G	783.99	210/12	1.781797
G♯/A♭	830.61	211/12	1.887748
A	880.00	212/12	2.000000

最终的A（880 Hz）的频率为初始的A（440 Hz）的两倍，也就是说，他们差了八度。

间距调整

由于一个半音的频率比接近106％，一个录音的播放速度增加或减慢6％将会使音高向上或向下一个半音移位“半步”。

参见

• 数表
• 纯律
• 音乐数学
• 方根
• 十二平均律