F-分布

在概率论和统计学里，F-分布（F-distribution）是一种连续概率分布，^[1][2][3][4]被广泛应用于似然比率检验，特别是ANOVA中。

F分布

概率密度函数
累积分布函数
参数	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$自由度
值域	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\!}$
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
累积分布函数	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}$
期望	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ for ${\displaystyle d_{2}>2}$
众数	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!}$ for ${\displaystyle d_{1}>2}$
方差	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ for ${\displaystyle d_{2}>4}$
偏度	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ for ${\displaystyle d_{2}>6}$
峰度	见下文

定义

如果随机变量 X 有参数为 d₁ 和 d₂ 的 F-分布，我们写作 X ~ F(d₁, d₂)。那么对于实数 x ≥ 0，X 的概率密度函数 (pdf)是

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$

这里${\displaystyle \mathrm {B} }$是B函数。在很多应用中，参数 d₁ 和 d₂ 是正整数，但对于这些参数为正实数时也有定义。

累积分布函数为

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

其中 I 是正则不完全贝塔函数。

右边表格中已给出期望、方差和偏度；对于${\displaystyle d_{2}>8}$，峰度为：

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$.

特征

一个F-分布的随机变量是两个卡方分布变量除以自由度的比率：

${\displaystyle {\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}={\frac {U_{1}/U_{2}}{d_{1}/d_{2}}}}$

其中：

• U₁和U₂呈卡方分布，它们的自由度（degree of freedom）分别是d₁和d₂。
• U₁和U₂是相互独立的。

参见

• F检验