九点模版

数值分析中，假设有在二维空间下的方形网格，一个点的九点模版（英语：nine-point stencil）是指包括其周围八个点和其自身的模版。九点模版可以用差分来近似中央点的导数，是数值微分的范例之一。九点模版常用在近似二个变数的拉普拉斯算子。

二维下的九点模版

动机

若用有限差分法，将二维的拉普拉斯算子离散化，可以得到常见的五点模版，表示为以下的卷积核：

${\displaystyle D_{CD}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}$

从均匀的初始条件开始，只有一个类似点状的扰动，确切解会得到圆，若其成长速率在轴上比较快，就会有中央差分离散化的各向异性效果，圆形会变成星形^[1]

虽然比较容易计算，计算量也比较少，但中央等化子会有不希望出现的本质性各向异性，因为此等化子没有考虑对角的影响。若在一些要求准确的应用中，拉普拉斯运算子的效果在座标轴上较快，其他方向较慢，这本质性的各向异性会是问题，会扭曲模拟结果^[1]。

上述问题开始让研究者寻找较好的离散拉普拉斯运算子的方法，希望可以消除各向异性。

实现

以下是二个最常见的各向同性九点模版，以其卷积核的形式表示。可以用以下的公式求得^[2][3]：

${\displaystyle D=(1-\gamma ){\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}+\gamma {\begin{bmatrix}1/2&0&1/2\\0&-2&0\\1/2&0&1/2\end{bmatrix}}}$

第一个是因Oono-Puri而得名^{[4][5][6][7][8]}，系数是γ=1/2^[2]。

${\displaystyle D_{OP}={\begin{bmatrix}1/4&2/4&1/4\\2/4&-12/4&2/4\\1/4&2/4&1/4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.25&0.5&0.25\\0.5&-3&0.5\\0.25&0.5&0.25\end{bmatrix}}}$

第二个是因为Patra-Karttunen或Mehrstellen而得名^{[1][7][8][9][10]}，系数是γ=1/3^[2]。

${\displaystyle D_{PK}={\begin{bmatrix}1/6&4/6&1/6\\4/6&-20/6&4/6\\1/6&4/6&1/6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.16&0.66&0.16\\0.66&-3.33&0.66\\0.16&0.66&0.16\end{bmatrix}}}$

两个都是离散拉普拉斯算子（英语：Discrete Laplace operator）的各向同性形式^[8]，在小Δx的极限下，两者等价^[11]。Oono-Puri是各向同性离散化的最佳解^[8]，整体误差都缩小^[2]，而Patra-Karttunen在加入旋转不变量的条件下，已有系统性的研究^[9]，在原点附近误差最小^[2]。