五点模版

数值分析中，假定是一维或二维的正方形格点，五点模版的点是由其四个邻点所组成的模版。会用五点模版来将格点上的导数用有限差分来近似。这是数值微分的应用。

一维和二维下的五点模版

一维

一维下，假设各点之间的距离是h，则五点模板的五个点会是

$${\displaystyle \{x-2h,x-h,x,x+h,x+2h\}.}$$

一维一阶导数

实变数函数 f在点x的一阶导数可以用五点模版近似如下^[1]：

$${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}}$$

上式中，没有用到中心点位置的值f(x)，只有用到其他四点。

推导

此公式可以用${\displaystyle f(x\pm h)}$和${\displaystyle f(x\pm 2h)}$在${\displaystyle a}$的四个泰勒级数求得，泰勒级数写到h³项，计算在${\displaystyle a=x\mp h}$和${\displaystyle a=x\mp 2h}$的级数，找到共同项${\displaystyle f^{(k)}(x)}$的资讯，再用四个方程f ′(x)，可以得到在x + h点和x − h点时：

$${\displaystyle f(x\pm h)=f(x)\pm hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)\pm {\frac {h^{3}}{6}}f^{(3)}(x)+O_{1\pm }(h^{4}).\qquad (E_{1\pm }).}$$

计算${\displaystyle (E_{1+})-(E_{1-})}$可以得到

$${\displaystyle f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+{\frac {h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{1}(h^{4}).\qquad (E_{1}).}$$

剩馀项O₁(h⁴)阶数必定是h⁵，不会是h⁴，因为若h⁴项已经写成(E₁₊)和(E₁₋)，会透过以下计算f(x + h) − f(x − h)而消去，而更高次的剩馀项没有处理，会留下来（如下）。

类似的，也可以得到下式

$${\displaystyle f(x\pm 2h)=f(x)\pm 2hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)\pm {\frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm }(h^{4}).\qquad (E_{2\pm })}$$

计算${\displaystyle (E_{2+})-(E_{2-})}$可得

$${\displaystyle f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{\frac {8h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{2}(h^{5}).\qquad (E_{2}).}$$

为了消去ƒ⁽³⁾(x)，计算8 × (E₁) − (E₂)

$${\displaystyle 8f(x+h)-8f(x-h)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{5})}$$

可以得到上式。注意：公式中f的系数(8, -8,-1,1)是更通用Savitzky–Golay滤波器（英语：Savitzky–Golay filter）的例子。

误差估计

此近似的误差的阶数是 h ⁴，可以用下式展开求得^[2]

$${\displaystyle {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}=f'(x)-{\frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})}$$

可以用泰勒级数的的左边展开求得。另外，对格点上${\displaystyle f'(x)}$的中心差分近似，间距是2h和h，应用理查德森外推法也可得到类似结果。

一维更高阶导数

可以用五点模版的中心差分公式，求得更高阶的导数如下

$${\displaystyle {\begin{aligned}f''(x)&\approx {\frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^{2}}}\\[1ex]f^{(3)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}\\[1ex]f^{(4)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^{4}}}\end{aligned}}}$$

上述近似的误差分别是O(h⁴)、O(h²)和O(h²)^[2]。

和拉格朗日插值多项式的关系

另一个推导的方式，是用拉格朗日多项式的微分求得

$${\displaystyle \ell _{j}(\xi )=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {\xi -x_{i}}{x_{j}-x_{i}}},}$$

其插值点是

$${\displaystyle x_{0}=x-2h,\quad x_{1}=x-h,\quad x_{2}=x,\quad x_{3}=x+h,\quad x_{4}=x+2h.}$$

而在这五点插值f(x)的四次多项式${\displaystyle p_{4}(x)}$是

$${\displaystyle p_{4}(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell _{j}(x)}$$

导数是

$${\displaystyle p_{4}'(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell '_{j}(x).}$$

因此，f ′(x)在中点x = x₂的有限差分近似为

$${\displaystyle f'(x_{2})=\ell _{0}'(x_{2})f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+\ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})}$$

计算五个拉格朗日多项式在x = x₂的导数可以得到一样的加权系数。若要延伸到非均匀格点，此方式会更加直接。

二维

二维下，若方格的长宽都是h，一个点(x, y)的五点模版为

$${\displaystyle \{(x-h,y),(x,y),(x+h,y),(x,y-h),(x,y+h)\},}$$

形成一个称为梅花形（quincunx）的形状，此模版可以近似双变数函数的拉普拉斯算子

$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x,y)\approx {\frac {f(x-h,y)+f(x+h,y)+f(x,y-h)+f(x,y+h)-4f(x,y)}{h^{2}}}.}$$

此近似的误差为O(h ²)^[3]，说明如下： 用函数对x和y的三点模版二阶导数可得：

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&={\frac {f\left(x+\Delta x,y\right)+f\left(x-\Delta x,y\right)-2f(x,y)}{\Delta x^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta x^{2}+\cdots \\[1ex]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&={\frac {f\left(x,y+\Delta y\right)+f\left(x,y-\Delta y\right)-2f(x,y)}{\Delta y^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

若假设${\displaystyle \Delta x=\Delta y=h}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}f&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+\cdots \\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\\\end{aligned}}}$$

相关条目

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