相互作用绘景

在量子力学里，相互作用绘景（interaction picture），是在薛丁格绘景与海森堡绘景之间的一种表述，为纪念物理学者保罗·狄拉克而又命名为狄拉克绘景。在这绘景里，描述量子系统的态向量与表达可观察量的算符都会随著时间流易而演化。有些实际案例会涉及到因相互作用而使得量子态与可观察量发生改变，这类案例通常会使用狄拉克绘景。

保罗·狄拉克

狄拉克绘景与薛丁格绘景、海森堡绘景不同。在薛丁格绘景里，描述量子系统的态向量随著时间流易而演化。在海森堡绘景里，表达可观察量的算符会随著时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归，所获得的结果完全一致。这是必然的，因为它们都是在表达同样的物理行为。^{[1]:80-84[2][3]}

定义

为了便利分析，位于下标的符号${\displaystyle {}_{\mathcal {H}}}$、${\displaystyle {}_{\mathcal {I}}}$、${\displaystyle {}_{\mathcal {S}}}$分别标记海森堡绘景、狄拉克绘景、薛丁格绘景。

通过对于基底的一种幺正变换，算符和态向量在狄拉克绘景里的形式与在薛丁格绘景里的形式相关联。

在量子力学里，对于大多数案例的哈密顿量，通常无法找到薛丁格方程式的精确解，只有少数案例可以找到精确解。因此，为了要能够解析其它没有精确解的案例，必须将薛丁格绘景里的哈密顿量${\displaystyle H_{\mathcal {S}}\,\!}$分成两个部分，^[1]:337-339

${\displaystyle H_{\mathcal {S}}=H_{0,\,{\mathcal {S}}}+H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$有精确解，有广泛知悉的物理行为，而${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$则通常没有精确解，是对于系统的微扰。

假若哈密顿量${\displaystyle H_{\mathcal {S}}\,\!}$含时（例如，感受到时变外电场作用的量子系统，其哈密顿量会含时），则通常会将显性含时部分放在${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$里。这样，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$不含时，而时间演化算符${\displaystyle U(t)\,\!}$的公式可以简单地表示为

${\displaystyle U(t)=e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$；

其中，${\displaystyle t\,\!}$是时间。

假若对于某些案例，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$应该设定为含时，则时间演化算符的公式会变得较为复杂：^[1]:70-71

${\displaystyle U(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{0}^{t}H_{0,\,{\mathcal {S}}}(t^{'})\,dt^{'}}\,\!}$。

本条目以下内容假设${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$不含时。

态向量

在狄拉克绘景里，态向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}\,\!}$定义为

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}{\stackrel {def}{=}}e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$是在薛丁格绘景里的态向量。

由于在薛丁格绘景里， 态向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$与时间的关系为

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iH_{\mathcal {S}}\,t/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$，

所以，在${\displaystyle H_{0,{\mathcal {S}}},H_{\mathcal {S}}}$对易的条件下，可以有

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{-iH_{1,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$。

算符

在狄拉克绘景里的算符${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)\,\!}$定义为

${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}(t)\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$；

其中，${\displaystyle A_{\mathcal {S}}(t)\,\!}$是在薛丁格绘景里对应的算符。

（请注意，${\displaystyle A_{\mathcal {S}}(t)\,\!}$通常不含时间，可以重写为${\displaystyle A_{\mathcal {S}}\,\!}$。反例，对于时变外电场的状况，哈密顿算符${\displaystyle H_{\mathcal {S}}(t)\,\!}$含时。）

哈密顿算符

假若${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$不含时，则${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$与${\displaystyle e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$ 对易，不论在薛丁格绘景里或在狄拉克绘景里，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$与${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$的形式都是一样：^{[注 1]}

${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}(t)=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }=H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$。

所以，算符${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$与${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$都可以简略标记为${\displaystyle H_{0}\,\!}$，不会造成歧意。

哈密顿算符的微扰成分${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$是

${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t)=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$；

除非对易关系式${\displaystyle [H_{1,\,{\mathcal {S}}},H_{0,\,{\mathcal {S}}}]=0\,\!}$，在狄拉克绘景里，${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$含时。

密度矩阵

与算符类似，在薛丁格绘景里的密度矩阵也可以变换到在狄拉克绘景里。设定${\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}\,\!}$和${\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}\,\!}$分别为在狄拉克绘景里和在薛丁格绘景里的密度矩阵。假若，处于量子态${\displaystyle |\psi _{n}\rangle \,\!}$的机率是${\displaystyle p_{n}\,\!}$，则

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\mathcal {I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}|\psi _{n}(t)\rangle _{\mathcal {I}}\,{}_{\mathcal {I}}\langle \psi _{n}(t)|\\&=\sum _{n}p_{n}\,e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }|\psi _{n}(t)\rangle _{\mathcal {S}}\,{}_{\mathcal {S}}\langle \psi _{n}(t)|e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\\&=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(t)\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\\\end{aligned}}\,\!}$。

时间演化方程式

本文以下内容，算符${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$与${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$都简略标记为${\displaystyle H_{0}\,\!}$。^[1]:337-339

量子态的时间演化

从态向量的定义式，可以得到态向量对于时间的导数是

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }\left[-H_{0}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}+i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\right]\\&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }\left[-H_{0}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}+H_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\right]\\&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }H_{1,\,{\mathcal {S}}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\\&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}\\\end{aligned}}}$

将算符的定义式代入，可以得到

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=H_{1,\,{\mathcal {I}}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}\,\!}$。

这是施温格-朝永振一郎方程式（英语：Schwinger-Tomonaga equation）的一个较为简单的形式。^[4]:153-155

算符的时间演化

假若算符${\displaystyle A_{\mathcal {S}}\,\!}$不含时，则其对应的${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)\,\!}$的时间演化为

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\mathcal {I}}(t)&=i\hbar {\frac {d}{dt}}(e^{iH_{0}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar })\\&=-H_{0}\,e^{iH_{0}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar }+e^{iH_{0}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar }H_{0}\\&=A_{\mathcal {I}}(t)H_{0}-H_{0}A_{\mathcal {I}}(t)\\&=\left[A_{\mathcal {I}}(t),\,H_{0}\right]\\\end{aligned}}\,\!}$。

这与在海森堡绘景里，算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)\,\!}$的时间演化类似：

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\mathcal {H}}(t)=\left[A_{\mathcal {H}}(t),\,H\right]\,\!}$。

密度矩阵的时间演化

应用施温格-朝永振一郎方程式于密度矩阵，则可得到

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{\mathcal {I}}(t)=\left[H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t),\rho _{\mathcal {I}}(t)\right]\,\!}$。

狄拉克绘景的应用

应用狄拉克绘景的目的是促使${\displaystyle H_{0}\,\!}$与时间无关，只有${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t)\,\!}$与时间有关，也只有${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t)\,\!}$控制态向量随时间流易的演化行为。

假若${\displaystyle H_{0}\,\!}$有精确解，而${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {S}}}(t)\,\!}$是一个弱小的微扰，则可很便利地采用狄拉克绘景，使用时变微扰理论来计算${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {S}}}(t)\,\!}$所产生对于整个系统的影响。例如，在费米黄金定则的导引里^{[1]:359–363}，或在推导戴森级数（英语：Dyson series）时^{[1]:355–357}，通常都会用到狄拉克绘景。

各种绘景比较摘要

各种绘景随著时间流易会呈现出不同的演化：^{[1]:86-89, 337-339}

演化	海森堡绘景	交互作用绘景	薛丁格绘景
右矢	常定	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}}$	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$
可观察量	${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	常定
密度算符	常定	${\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }}$

参阅

• 狄拉克标记
• 朱利安·施温格
• 朝永振一郎