刘维尔函数 (微积分)

此条目介绍的是微积分学的刘维尔函数。关于数论中名为Liouville function的函数，请见“刘维尔函数”。

在微积分学领域，刘维尔函数（英语：Liouvillian function）是一类函数，包括所有初等函数以及它们的任意次积分，也可以递归地定义为：

• 初等函数是刘维尔函数
• 如果一个函数是刘维尔函数，那么它的积分也是

所以，刘维尔函数对于算术运算，复合，微分，积分封闭，但是对求极限和无穷求和不封闭。

刘维尔函数是由约瑟夫·刘维尔在1833年至1841年的一系列论文中所提出的。

示例

• 所有的初等函数
• 误差函数
• 菲涅耳积分，对数积分，指数积分

所有刘维尔函数都是代数微分方程的解，但反之则不然。作为代数微分方程解但不是刘维尔函数的示例包括^[1]：

• 大多数贝塞尔函数
• 大多数超几何函数

所以，像：

• Γ函数
• ζ函数（英语：List of zeta functions）

它们不是代数微分方程解，所以自然不是刘维尔函数。

相关条目

• 封闭形式
• 微分伽罗瓦理论
• 刘维尔定理 (微分代数)
• 非初等积分
• Picard–Vessiot theory（英语：Picard–Vessiot theory）