非初等积分

数学上的非初等积分是指某反导数（或不定积分）是初等函数的反导数，但其自身不是初等函数^[1]。1835年的刘维尔定理证明了非初等积分存在^[2]。此定理也提供了Risch算法的基础，可以判定哪些初等函数的反导数也是初等函数（不过不太容易）。

范例

以下是一些其反导数是非初等积分的函数范例：

• ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{4}}}}$^[1]（椭圆积分）
• ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$^[3]（对数积分）
• ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$^[1]（误差函数、高斯积分）
• ${\displaystyle \sin(x^{2})}$ and ${\displaystyle \cos(x^{2})}$（菲涅耳积分）
• ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)}$（三角积分、狄利克雷积分）
• ${\displaystyle {\frac {e^{-x}}{x}}}$ （指数积分）
• ${\displaystyle e^{e^{x}}\,}$（可以用指数积分来表示）
• ${\displaystyle \ln(\ln x)\,}$（可以用对数积分来表示）
• ${\displaystyle {x^{c-1}}e^{-x}}$（不完全Γ函数），若${\displaystyle c=0,}$其反导数可以用指数积分表示，若${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}},}$，可以用误差函数表示，若${\displaystyle c=}$是其他正数，其反导数是基础函数。

一些常见的非初等积分有其名称，也就是所谓的特殊函数，上述公式后面的括弧即为这些函数的名称。

性质

非初等积分可以用泰勒级数来计算。就算一函数的反导数是非初等积分，其泰勒级数也是解析函数，可以像多项式一様逐项积分，因此其半导数也是泰勒级数，有相同的收敛半径。不过，就算积分是收敛的泰勒级数，其系数也没有简单的公式，必须逐项计算，其限制和积分的泰勒级数相同。

若要计算非初等积分的定积分，可以用数值积分近似。也有些情形是其不定积分无法用初等函数表示，但特定的定积分（可能是无限区间内的反常积分）可以用初等函数表示：例如著名的高斯积分 ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$^[4]。

初始函数积分的闭包即为刘维尔函数。

相关条目

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