希尔伯特的23个问题

希尔伯特问题（德语：Hilbertsche Probleme）是德国数学家大卫·希尔伯特于1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上所作题为《数学问题》的演讲中提出的23个最重要的数学问题。希尔伯特问题对20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家的努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决或部分解决。

希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。

希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。

#	主旨	进展	说明
第1题	连续统假设	部分解决	1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法证明连续统假设不能由策梅洛-弗兰克尔集合论（无论是否含选择公理）推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZF/ZFC确定。
第2题	算术公理之相容性	部分解决	库尔特·哥德尔在1931年证明了哥德尔不完备定理，根岑在1936年证明了一阶算术系统（即皮亚诺算术系统）是自洽的。但这些定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。
第3题	两四面体有相同体积之证明法	已解决	答案：否。1900年，希尔伯特的学生马克斯·登（英语：Max Dehn）以一反例证明了是不可以的。
第4题	建立所有度量空间使得所有线段为测地线	部分解决	此问题被英国数学史学家杰雷米·格雷（Jeremy Gray）认为过于隐晦。最早的公认解法由苏联数学家阿列克谢·波戈雷洛夫（Алексей Васильевич Погорелов）提出。
第5题	所有连续群是否皆为可微群	部分解决	1953年日本数学家山边英彦证明在无“小的子群”情况下，答案是肯定的^[1]；但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界仍有争论（因为希尔伯特那个年代没有“流形”的概念）。
第6题	公理化物理	部分解决	希尔伯特后来对这个问题进一步解释，而他自己也进一步研究这个问题。柯尔莫哥洛夫对此也有贡献。然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如量子场论），故该问题未完全解决。但也有争论认为，希尔伯特所说的“物理”一词并不包含在当时尚未发现的量子力学等理论。
第7题	若b是无理数、a是除0、1之外的代数数，那么a^b是否超越数	已解决	答案：是。分别于1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德与德国数学家特奥多尔·施耐德独立地解决。
第8题	黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想	未解决	虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况，三个问题均仍未被解决。
第9题	任意代数数域的一般互反律	部分解决	1927年德国的埃米尔·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的；此外的情况则尚未证明。
第10题	不定方程可解性	已解决	答案：否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。
第11题	代数系数之二次形式	部分解决	有理数的部分由哈塞于1923年解决。
第12题	一般代数数域的阿贝尔扩张	部分解决	埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘理论（英语：Complex multiplication）已基本解决。一般情况下则尚未解决。
第13题	以二元函数解任意七次方程	未解决	1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺尔德证明对于单值解析函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形，因此该问题未获得完全解答。
第14题	证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性	已解决	答案：否。1959年日本人永田雅宜提出反例。
第15题	舒伯特演算（英语：Schubert calculus）之严格基础	部分解决	一部分在1938年由范德瓦尔登得到严谨的证明。段海豹和赵学志宣称该问题实际已解决^[2]。
第16题	代数曲线及表面之拓扑结构	未解决	此问题进展缓慢，即使对于度为8的代数曲线也没有证明。
第17题	把有理函数写成平方和分式	已解决	答案：是。1927年埃米尔·阿廷解决此问题，并提出实封闭域。^[3]^[4]
第18题	非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列	已解决	1911年比伯巴赫（英语：Ludwig Bieberbach）做出“n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”；莱因哈特（英语：Karl Reinhardt (mathematician)）证明不规则多面体亦可填满空间；托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。
第19题	拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析	已解决	答案：是。1956年至1958年恩尼奥·德乔吉（英语：Ennio de Giorgi）和约翰·福布斯·纳什分别用不同方法证明。
第20题	所有边值问题是否都有解	已解决	实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的，因而都可以确定是否有解。^[5]
第21题	证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group）	已解决	此问题的答案取决于问题的表述：部分情况下是肯定的，部分情况下则是否定的。
第22题	将解析关系（analytic relations）以自守函数（英语：Automorphic function）一致化	部分解决	1904年由保罗·克伯（英语：Paul Koebe）和庞加莱取得部分解决。详见单值化定理。
第23题	变分法的长远发展	开放性问题	包括希尔伯特本人、昂利·勒贝格、雅克·阿达马等数学家皆投身于此。理查德·贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代。

希尔伯特的23个问题

问题解决进度

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文献

外部链接

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