克利福德叢

在數學中， 克利福德(Clifford) 叢是一種代數叢，其纖維具有克利福德代數的結構，並且其局部平凡化遵循代數結構。任何（偽）黎曼流形M都對應有一個自然的 克利福德叢，稱為M的 克利福德叢。

這通常被稱為 S ³的霍普夫纖維化，是海因茨·霍普夫 (1931) 指出的一種拓撲構造。但霍普夫的程序明確地基於（並附有適當參考）早期的「克利福德平行線」的幾何構造。 ^[1]

一般構造

設V是一個（實數或複數）向量空間，且具有對稱雙線性形式<·,·>。克利福德代數Cℓ ( V ) 是由V生成的自然（單位結合）代數，僅滿足以下關係

${\displaystyle v^{2}=\langle v,v\rangle }$

對於V中的所有v 。 可以將Cℓ ( V ) 構造為V的張量代數由上述關係生成的理想的商代數。

與其他張量運算一樣，這種構造可以在光滑向量束上以纖維方式進行。設E是光滑流形M上的光滑向量叢，設g是E上的光滑對稱雙線性形式。E的Clifford 叢是這樣的纖維叢，其纖維是由E的纖維生成的 Clifford 代數：

${\displaystyle C\ell (E)=\coprod _{x\in M}C\ell (E_{x},g_{x})}$

Cℓ ( E ) 的拓撲結構由E的拓撲結構通過相關束構造確定。

人們最常感興趣的是g為正定的或至少是非退化的情況；也就是說，當 ( E, g ) 為黎曼向量束或偽黎曼向量束時。為了具體起見，假設 ( E, g ) 是黎曼向量束。 E的 Clifford 束可以按如下方式構造。令Cℓ _n R為由R ⁿ以歐氏度量生成的 Clifford 代數。正交群O( n ) 對R ⁿ的標準作用引發Cℓ _n R的分級自同構。同態

${\displaystyle \rho :\mathrm {O} (n)\to \mathrm {Aut} (C\ell _{n}\mathbb {R} )}$

由以下因素決定

${\displaystyle \rho (A)(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=(Av_{1})(Av_{2})\cdots (Av_{k})}$

其中v _i均為R ⁿ中的向量。 E的 Clifford 束由下式給出：

${\displaystyle C\ell (E)=F(E)\times _{\rho }C\ell _{n}\mathbb {R} }$

其中F ( E ) 是E的正交框架叢。由此構造可知， Cℓ ( E ) 的結構群為 O( n )。由於 O( n ) 通過Cℓ _n R上的分次自同構作用，因此Cℓ ( E ) 是M上的Z _{2 分}次代數的叢。Clifford 叢Cℓ ( E ) 可以分解為偶子叢和奇子叢：

${\displaystyle C\ell (E)=C\ell ^{0}(E)\oplus C\ell ^{1}(E).}$

如果向量束E是可定向的，則可以按照自然的方式將Cℓ ( E ) 的結構群從 O( n ) 簡化為 SO( n )。

黎曼流形的克利福德叢

如果M是度量為g的黎曼流形，則M的 Clifford 束是由切束TM生成的 Clifford 束。我們還可以用餘切叢T * M構建一個 Clifford 叢。該度量誘導出一個自然同構TM = T * M ，因此也誘導出一個同構Cℓ ( TM ) = Cℓ ( T * M )。

M的 Clifford 叢與M的外叢之間存在自然向量叢同構：

${\displaystyle C\ell (T^{*}M)\cong \Lambda (T^{*}M).}$

這是向量束的同構，而不是代數束的同構。同構是由每根纖維上相應的同構引起的。這樣，人們就可以把 Clifford 叢的各個部分想象成M上的微分形式，配備了 Clifford 乘法，而不是楔積（與度量無關）。

上述同構在以下意義上保持分次：

${\displaystyle {\begin{aligned}C\ell ^{0}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {even} }(T^{*}M)\\C\ell ^{1}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {odd} }(T^{*}M).\end{aligned}}}$

局部描述

對於向量${\displaystyle v\in T_{x}M}$在${\displaystyle x\in M}$以及一個表格${\displaystyle \psi \in \Lambda (T_{x}M)}$ Clifford 乘法^[2]定義為

${\displaystyle v\psi =v\wedge \psi +v\lrcorner \psi }$ ，

其中第一項使用了度量對偶來將向量變為一種形式。

然後外導數${\displaystyle d}$及其衍生品${\displaystyle \delta }$可以與公制連接相關${\displaystyle \nabla }$使用正交基的選擇${\displaystyle \{e_{a}\}}$經過

${\displaystyle d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =-e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}}$ 。

利用這些定義，狄拉克-凱勒算子^[2][3] 定義為

${\displaystyle D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta }$ 。

在星型域上，對於外導數，可以利用龐加萊引理對該算子求逆，對於同導數，可用霍奇星型對偶對該算子進行求逆。 ^[4]實現這一目標的實際方法是通過同倫算子和上同倫算子。 ^{[4] [5]}

參見

• 正交框架束
• 旋量
• 自旋流形
• 旋量表示
• 自旋幾何
• 自旋結構
• Clifford 模塊包