實值函數

實值函數是值域為實數的函數，也就是可以為其定義域的每個成員都指定一個實數。

以克為單位的質量是一個實值函數的例子。

實變數的實值函數（實函數）和實值的多實變數函數（英語：functions of several real variables）是微積分學和實變函數論研究的主要主題。許多函數空間都包括實值函數。

代數結構

令${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$是從集合X到實數${\displaystyle \mathbb {R} }$所有函數的集合。因為${\displaystyle \mathbb {R} }$是個域，${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$可以變成實數上的向量空間和結合代數，有以下的運算：

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$ – 向量加法
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$ – 加法單位元
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$ – 標量乘法
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$ – 逐點乘法

上述運算可以延伸到X到${\displaystyle \mathbb {R} ,}$的偏函數，其限制是偏函數f + g和f g只在f和g的定義域交集不是空集合時才有定義，此例中，其定義域就是f和g定義域的交集。

因為${\displaystyle \mathbb {R} }$是有序集，存在以下的偏序關係

• ${\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),}$

在${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$，會使${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$成為部分有序環（英語：partially ordered ring）。

可測

參見：博雷爾可測函數

博雷爾集的The σ-代數是實數裡的重要結構。若X有其σ-代數，且函數f使得任何博雷爾集 B的像f ⁻¹(B)都屬於該σ-代數，則f是可測函數。可測函數會形成向量空間以及代數。

甚至，X上實值函數的集合可以定義σ-代數，是由所有博雷爾集的所有像所產生的。這也是σ-代數出現在（機率公設）概率論的原因，其中，樣本空間Ω上的實值函數是實值隨機變量。

連續

實數形成了拓撲空間和完備空間。連續實值函數（其中隱含了X是拓撲空間）在點集拓撲學理論中很重要。極值定理表示，針對緊空間中的任何連續實值函數，其全域極值（最大值和最小值）存在。

度量空間概念本身是用二個變數的實值函數來定義的，其度量是連續的。緊豪斯多夫空間上的連續函數（英語：continuous functions on a compact Hausdorff space）有其特別的重要性。收斂數列也可以視為是在特殊拓撲空間上的實值函數。

連續函數也形成向量空間，也有上述的幾何結構，也是可測函數的子集合，因為所有的拓撲空間都會有由開集（或閉集）產生的σ-幾何。

光滑

主條目：光滑函數

實數也是用來定義光滑函數的陪域（codomain）。實光滑函數的定義域可以是實坐標空間（英語：real coordinate space）（會得到實多變數函數（英語：real multivariable function））、拓撲向量空間,^[1]、上述的開集，或是光滑流形。

光滑函數的空間也是向量空間，也有上述的幾何結構，也是連續函數空間的子集。

測度理論中的應用

集合的測度是其子集σ-幾何上的非負實值泛函。集合上，有度量的L^p空間可由前述的實值可測函數｜real-valued measurable functions（英語：實值可測函數｜real-valued measurable functions）定義，不過他們其實是商空間。更準確地說，滿足適當可積性的函數，定義了L^p空間的元素，但反過來說，對於任意f ∈ L^p(X)，x ∈ X，而x不是atom（英語：atom (measure theory)），f(x)的值未定義。不過，實值L^p空間仍有一些前述代數結構中的特質。每一個L^p空間都是向量空間，也都有偏序，也存在函數的逐點乘法，可以改變p，公式如下

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

例如，兩個L²函數的點乘屬於L¹。

其他領域的應用

其他會用到實值函數和其性質的領域包括單調函數（在偏序關係裡）、凸函數（在向量和仿射空間）、調和函數和次調和函數（在黎曼流形）、解析函數（在一個或多個實數變數）、代數函數（在實代數簇）和（一個或多個實變數的）多項式

相關條目

• 實變函數論
• 偏微分方程，其中常出現實值函數
• 範數
• 標量 (數學)