反射子範疇

數學中，範疇 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的全子範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 稱在 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中反射，當且僅當從 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 到 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的包含函子擁有左伴隨。該伴隨亦稱反射子或局部化。對偶地，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 稱在 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中余反射，當且僅當包含函子具右伴隨。

通俗而論，反射子實現一類完成操作，補全結構中所有「缺失」塊，再而反射則無更多現象。

定義

範疇 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的全子範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 稱於 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中反射，若對任意對象 ${\displaystyle B\in \operatorname {Ob} {\mathcal {B}}}$, 總存在對象 ${\displaystyle A_{B}\in \operatorname {Ob} {\mathcal {A}}}$ 與態射 ${\displaystyle r_{B}\colon \,B\to A}$, 使得對任意指向 ${\displaystyle A}$ 的態射 ${\displaystyle f\colon \,B\to A}$ 存在唯一 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的態射 ${\displaystyle {\bar {f}}\colon \,A_{B}\to A}$ 滿足 ${\displaystyle {\bar {f}}\circ r_{B}=f}$.

有序對 ${\displaystyle \left(A_{B},\,r_{B}\right)}$ 稱 ${\displaystyle B}$ 的 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射。態射 ${\displaystyle r_{B}}$ 稱作 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射箭頭。通常簡潔起見而僅稱 ${\displaystyle A_{B}}$ 作 ${\displaystyle B}$ 的 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射。

上述性質等價於稱嵌入函子 ${\displaystyle E\colon \,{\mathcal {A}}\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$ 為右伴隨。而左伴隨函子 ${\displaystyle R\colon \,{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}}$ 則稱余反射子。映射 ${\displaystyle r_{B}}$ 為該伴隨的單位。

反射子將 ${\displaystyle B}$ 投射到 ${\displaystyle A_{B}\in \operatorname {Ob} {\mathcal {A}}}$, 對 ${\displaystyle f\in \operatorname {Mor} {\mathcal {B}}}$, ${\displaystyle Rf}$ 由交換圖確定：

Description for Reflective Subcategory in zh.wiki

若全部 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射箭頭均（極）滿​（英語），則認為子範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ （極）滿反射。同樣，認為其雙反射，若所有反射箭頭均為雙態射​（英語）。

以上記號均為 ${\displaystyle E}$-反射子範疇的特例，其中 ${\displaystyle E}$ 為態射類。

類 ${\displaystyle \operatorname {Ob} {\mathcal {A}}}$ 的 ${\displaystyle E}$-反射包定義作涵蓋 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的最小 ${\displaystyle E}$-反射子範疇。繼而得以論述反射包、滿反射包、極滿反射包等概念。

反反射子範疇定義作 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的全子範疇，滿足 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中擁有 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射箭頭的所有對象均已存在於 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中。

由對偶原理，上述記號亦可推至余反射、余反射箭頭、（單）余反射子範疇、余反射包、反余反射子範疇。

例子

代數

• Abel 群範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Ab}}}$ 是群範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ 的反射子範疇，其中反射子即 Abel 化每個群的函子。進一步說，群範疇亦是逆半群範疇的反射子範疇。
• 類似地，交換結合代數範疇是所有結合代數範疇的反射子範疇，其中反射子通過模去換位子理想構造，用於從張量代數構建對稱代數​（英語）。
• 對偶地，反交換結合代數範疇亦是所有結合代數範疇的反射子範疇，其中反射子通過模去反換位子理想構造，用於從張量代數構造外代數。
• 域範疇是整環範疇（以環單同態作態射），反射子為遞送整環到其分式域的函子。
• Abel 撓群範疇為 Abel 群範疇的余反射子範疇，余反射子為遞送群為其撓子群的函子。
• 初等 Abel 群範疇、Abel p-群範疇、p-群範疇均為群範疇的反射子範疇。
• 群範疇是幺半群範疇的余反射子範疇，其中右伴隨將幺半群映至其單位群。

拓撲

• Колмого́ров 空間範疇（${\displaystyle \mathrm {T} _{0}}$ 空間）是拓撲空間範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$ 的反射子範疇，而 Колмого́ров 商為反射子。
• 完全正則空間範疇 ${\displaystyle {\mathsf {CReg}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$ 的反射子範疇。取 Колмого́ров 商知 Tychonoff 空間亦是反射子。
• 全部緊 Hausdorff 空間的範疇是全部 Tychonoff 空間的範疇（及所有拓撲空間範疇）的反射子範疇，反射子由 Stone–Čech 緊化給定。
• 所有具一致連續映射的完備度量空間的範疇是度量空間範疇的反射子範疇，反射子在對象上的作用是度量空間完備化，在箭頭上的作用是由稠密性延拓。
• 在某一拓撲空間上，層範疇是預層範疇的反射子範疇，反射子為層化，它將一個預層賦予為其芽的叢的截面層。
• 序列空間​（英語）範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Seq}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$ 的余反射子範疇，拓撲空間 ${\displaystyle (X,\,\tau )}$ 的序列余反射為空間 ${\displaystyle (X,\,\tau _{\textrm {seq}})}$, 其中，${\displaystyle \tau _{\mathrm {seq} }}$ 為在 ${\displaystyle X}$ 包含所有序列開集的拓撲（亦是所有序列閉集的余集），比 ${\displaystyle \tau }$ 更加精細。

泛函分析

• Banach 空間範疇是有界線性算子賦范空間範疇的反射子範疇，反射子為賦范完成函子。

範疇論

• 對任意 Grothendieck 位點 ${\displaystyle (C,\,J)}$, 其上的層 topos 為 ${\displaystyle C}$ 上的預層 topos 的反射子範疇，較為特別，其反射子函子左正合。反射子為層化函子 ${\displaystyle a\colon \,\operatorname {Presh} C\to \operatorname {Sh} (C,\,J)}$, 伴隨對 ${\displaystyle (a,\,i)}$ 為 topos 論里，幾何態射的重要一例。