黎曼-劉維爾積分

 數學上，黎曼-劉維爾積分（Riemann–Liouville integral）將定義域和值域均為實數集的實函數${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 與另一個同類型的函數 I^α f相關聯，其中參數 α > 0。該積分是f的重複反導數（原函數）的一種推廣形式，當α為正整數值時， I^α f就是f的α階反導數。黎曼-劉維爾積分以伯恩哈德·黎曼和約瑟夫·劉維爾的名字命名，後者於1832年首次考慮分數微積分的可能性。^{[1] [2] [3] [4]}當應用於解析函數時，該算符與萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler) 提出的歐拉變換一致。 ^[5]它被Marcel Riesz推廣到任意維度，並引入了Riesz勢（英語：Riesz potential）。該算符也被稱為黎曼-劉維爾微分積分（Riemann–Liouville differintegral），微分積分（英語：differintegral）（differintegral）一詞體現它是一種微分和積分的聯合運算。

動機

黎曼-劉維爾積分源自柯西重複積分公式。對於在區間 [a, x] 上連續的函數f ，柯西n重重複積分公式如下

$${\displaystyle I^{n}f(x)=f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

現在，通過用α代替正整數n ，這個公式可以推廣到任何正實數，因此我們得到黎曼-劉維爾分數階積分的定義

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,\mathrm {d} t}$

定義

黎曼-劉維爾積分定義為

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt}$

其中Γ是伽馬函數， a是任意但固定的基點。如果f是局部可積函數，且α是半平面Re(α) > 0中的複數，則積分定義明確。其中對基點a的依賴往往被隱去，體現了積分常數的選取自由。顯然， I¹ f是f的（一階）反導數，當α取正整數值時，根據柯西重複積分公式（英語：Cauchy formula for repeated integration）， I^α f是其α階反導數。另一種強調基點的記法如下：^[6]

${\displaystyle {}_{a}D_{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt.}$

如果a = −∞ ，且對f有適當的限制，上述式子也是適用的。

有以下基本關係成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,}$

後式表明其具有半群性質。 ^[1]這些性質不僅使得分數階積分的定義成為可能，而且通過對I^α f取足夠多的導數，還可以定義分數階微分。

特性

對一個確定有界區間(a, b) 。算子I^α將每個可積函數f在(a, b)上與函數I^α f在(a, b)上相關聯。根據富比尼定理，函數I^α f也是可積的。因此I^α在L¹(a,b)上定義了一個線性算子：

${\displaystyle I^{\alpha }:L^{1}(a,b)\to L^{1}(a,b).}$

富比尼定理還表明，該算子關於L¹上的Banach 空間結構是連續的，並且以下不等式成立：

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{1}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.}$

這裡‖ · ‖₁表示L¹(a,b)上的範數。

更一般地，根據赫爾德不等式，如果f ∈ L^p(a, b) ，則I^α f ∈ L^p(a, b)同樣成立。下列類似的不等式

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{p}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )/p}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p}}$

成立。其中‖ · ‖_p是區間(a, b)上的L^p範數。

因此我們有一個有界線性算子I^α : L^p(a, b) → L^p(a, b) 。此外，當參數α沿實軸趨於0，在L^p意義上， I^α f → f。即對於所有p ≥ 1

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0}$

此外，通過估計I的最大函數，可以證明極限I^α f → f幾乎處處逐點成立。

算子I^α在整個實數軸上的局部可積函數集上有明確定義${\displaystyle \mathbb {R} }$ 。它定義了任意Banach 空間中指數型函數的有界變換${\displaystyle X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}dt)}$，由局部可積函數組成，其範數

${\displaystyle \|f\|=\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt}$

是有限的。對於f ∈ X_σ ， I^α f的拉普拉斯變換形式特別簡單

${\displaystyle ({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s)}$

其中Re(s) > σ 。這裡F(s)表示f的拉普拉斯變換，該性質表示I^α是傅里葉乘子（英語：multiplier operator）。

分數階導數

f的分數階導數也可以定義為

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f\,{\overset {\text{def}}{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f}$

其中⌈ · ⌉表示上限函數。通過定義

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&\alpha >0\\f(x)&\alpha =0\\I^{-\alpha }f(x)&\alpha <0.\end{cases}}}$

可以得到微分和積分之間的微分積分插值。

1967 年，卡普托 (Caputo) 提出了一種分數階導數， ^[7]由此產生的導數具有與前者不同的性質：這種導數對常數函數求導得到零，更重要的是，拉普拉斯變換的初值項是用該函數的值及其整數階導數來表示的，而不是像黎曼-劉維爾導數那樣用分數階導數來表示。 ^[8]以x為基點的 Caputo 分數階導數為：

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(y)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{x}^{y}f'(y-u)(u-x)^{-\alpha }du.}$

另一種表示是：

${\displaystyle {}_{a}{\tilde {D}}_{x}^{\alpha }f(x)=I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left({\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }f}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}\right).}$

基本冪函數的分數階導數

函數f(x) = x （藍色曲線）的半導數（紫色曲線）與一階導數（紅色曲線）。

動畫顯示導數算子在簡單冪函數y = x的反導數( α = −1 : y = 1/2x²）和導數(α = +1: y = 1)之間連續來回震盪。

假設f(x)是單項式，形式如下：

${\displaystyle f(x)=x^{k}\,.}$

一階導數與通常情形一致：

${\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\,.}$

重複此過程可得到更一般的結果

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\,,}$

用伽馬函數代替階乘後，得到

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a},\quad \ k>0.}$

對於k = 1和a = 1/2

${\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}+1\right)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}x^{\frac {1}{2}}.}$

為了證明這就是真正的「半導數」（其中H滿足H²f(x) = Df(x) ），我們重複該過程得到：

${\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x^{0}}{\sqrt {\pi }}}=1\,,}$

（因為${\textstyle \Gamma \!\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$且Γ(1) = 1 )，這確實是預期的結果

${\displaystyle \left({\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)\!x={\frac {d}{dx}}x=1\,.}$

對於負整數冪k ，1/ ${\textstyle \Gamma }$為 0，因此使用以下關係很方便： ^[9]

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=\left(-1\right)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}\quad {\text{ for }}k\geq 0.}$

上述微分算子的擴展不僅限於實數冪；它也適用於複數冪。例如， (1 + i)次導數的(1 − i)次導數得出二階導數。將a設為負值會得到積分。

對於一般函數f(x)且0 < α < 1 ，完全分數階導數為

${\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt.}$

對於任意α，由於伽馬函數對於負（實）整數是無限的，因此有必要在進行整數導數之後應用分數階導數。例如，

${\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

拉普拉斯變換

我們也可以通過拉普拉斯變換來解決這個問題。已知

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

和

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

等等，我們斷言

${\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}}$ 。

例如，

${\displaystyle J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}}$

正如預期的那樣。事實上，考慮到卷積規則

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}}$

並且為了清楚起見，我們將p(x)簡寫為p(x) = x^{α − 1}，由此可得

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}}$

這就是上面柯西推導的式子。

拉普拉斯變換對相對較少的函數起作用，但它們通常對求解分數階微分方程很有用。

參見

• Caputo分數階導數