哥德巴赫猜想
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哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)是數論中存在最久的未解問題之一。這個猜想最早出現在1742年普魯士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫與瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的通信中。用現代的數學語言,哥德巴赫猜想可以陳述為:
“ | 任一大於2的偶數,都可表示成兩個質數之和。 | ” |
這個猜想與當時歐洲數論學家討論的整數分拆問題有一定聯繫。整數分拆問題是一類討論「是否能將整數分拆為某些擁有特定性質的數的和」的問題,比如能否將所有整數都分拆為若干個完全平方數之和,或者若干個完全立方數的和等。而將一個給定的偶數分拆成兩個質數之和,則被稱之為此數的哥德巴赫分拆。例如,
- 4 = 2 + 2
- 6 = 3 + 3
- 8 = 3 + 5
- 10 = 3 + 7 = 5 + 5
- 12 = 5 + 7
- 14 = 3 + 11 = 7 + 7
- 16 = 3 + 13 = 5 + 11
- …
換句話說,哥德巴赫猜想主張每個大於等於4的偶數都是哥德巴赫數——可表示成兩個質數之和的數[1]。哥德巴赫猜想也是二十世紀初希爾伯特第八問題中的一個子問題。
其實,也有一部分奇數可以用兩個質數的和表示,大多數的奇數無法用兩個質數的和表示,例如:15=2+13、19=2+17,而23、35等數則無法用兩質數的和表示。
哥德巴赫猜想在提出後的很長一段時間內毫無進展,直到二十世紀二十年代,數學家從組合數學與解析數論兩方面分別提出了解決的思路,並在其後的半個世紀裏取得了一系列突破。目前最好的結果是中國數學家陳景潤在1973年發表的陳氏定理(也被稱為「1+2」)。
哥德巴赫猜想另一個較弱的版本(也稱為弱哥德巴赫猜想)是猜想大於5的奇數都可以表示成3個質數之和[2]。這個猜想可以從哥德巴赫猜想推出。1937年,蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫證明了每個充分大(英語:Eventually (mathematics))的奇數都可以表示成3個質數之和;2013年,秘魯數學家哈洛德·賀歐夫各特完全證明了弱哥德巴赫猜想。