積分
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積分(英語:Integral)是微積分學與數學分析裏的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說,對於一個給定的正實值函數,在一個實數區間上的定積分
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可以在數值上理解為在坐標平面上,由曲線(),直線,以及軸圍成的曲邊梯形的面積值[註 1]。
的不定積分(或原函數)是指任何滿足導數是函數的函數。一個函數的不定積分不是唯一的:只要是的不定積分,那麼與之相差一個常數的函數 也是的不定積分。[註 2]
微積分基本定理是微積分學中的一條重要定理,由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨在十七世紀分別獨立發現。微積分基本定理將積分與微分建立聯繫,通過找出一個函數的原函數,即可方便地計算它在一個區間上的積分。積分和導數已成為高等數學中最基本的工具,並在自然科學和工程學中得到廣泛運用。
積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出,因此習慣上我們常見的積分也稱為「黎曼積分」。黎曼的定義運用了極限的概念,把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。從十九世紀起,更高級的積分定義逐漸出現,有了對各種積分區間上的各種類型的函數的積分。[註 3]對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念。
對積分概念的推廣來自於物理學的需要,並體現在許多重要的物理定律中,尤其是電動力學。現代的積分概念基於測度論,主要是由昂利·勒貝格建立的勒貝格積分。