群的生成集合
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在抽象代數中,群 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表達為 S 的元素和它們的反元素中的有限多個元素的乘積。
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更一般的說,如果 S 是群 G 的子集,則 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群,這意味着它是包含 S 元素的所有子群的交集;等價的說,<S> 是 G 中所有可以用 S 的元素和它們的反元素中的有限乘積表達的元素的子群。
如果 G = <S>,則我們稱 S 生成 G;S 中的元素叫做生成元或群生成元。如果 S 是空集,則 <S> 是平凡群 {e},因為我們認為空乘積是單位元素。
在 S 中只有一個單一元素 x 的時候,<S> 通常寫為 <x>。在這種情況下,<x> 是 x 的冪的循環子群,我們稱這個循環群是用 x 生成的。與聲稱一個元素 x 生成一個群等價,還可以聲稱它有階 |G|,或者說 <x> 等於整個群 G。