数学上，两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集是含有所有既属于${\displaystyle A}$又属于${\displaystyle B}$的元素，而没有其他元素的集合。

基本定义

A和${\displaystyle B}$的交集

${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集写作“${\displaystyle A\cap B}$”。形式上：

${\displaystyle x}$属于${\displaystyle A\cap B}$当且仅当

• ${\displaystyle x}$属于${\displaystyle A}$且${\displaystyle x}$属于${\displaystyle B}$。

例如：集合${\displaystyle \{1,2,3\))$和${\displaystyle \{2,3,4\))$的交集为${\displaystyle \{2,3\))$。数字${\displaystyle 9}$不属于素数集合${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \))$和奇数集合${\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \))$的交集。

若两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$。例如集合${\displaystyle \{1,2\))$和${\displaystyle \{3,4\))$不相交，写作${\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing }$。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合${\displaystyle A,B}$，${\displaystyle C}$和${\displaystyle D}$的交集为${\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))}$。交集运算满足结合律。即：

${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}$

任意交集

以上定义可推广到任意非空集合的集合的交集。若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则${\displaystyle x}$属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素${\displaystyle A,x}$属于${\displaystyle A}$。符号表示为：

${\displaystyle \left(x\in \bigcap \mathbf {M} \right)\leftrightarrow \left(\forall A\in \mathbf {M} ,x\in A\right)}$。

这一概念也蕴涵了前述的定义，例如，${\displaystyle A\cap B\cap C}$是集合${\displaystyle {A,B,C))$的交集。 （若 M 为空集，有时候谈论它的交集也是有意义的，请见空交集。）

这一概念的表示符号有多种。 集合论者有时用${\displaystyle \bigcap M}$，有时用${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A}$。后一种写法可以一般化为${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i))$，表示集合${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\))$的交集。这里${\displaystyle I}$非空，而对于每个${\displaystyle I}$里的${\displaystyle i,A_{i))$是一个集合。

当索引集${\displaystyle I}$为自然数集合时，这种符号表示与无限序列相类似：

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i))$

为了排版方便，上述符号也可以写成"${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots }$"，尽管严格说来，像${\displaystyle A_{1}\cap (A_{2}\cap (A_{3}\cap \ldots }$这样的写法是无意义的。（这个例子是可数个集合的交集，相当常用，可以参看${\displaystyle \sigma }$-代数条目中的例子。）

最后，注意当符号${\displaystyle \cap }$写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。（在HTML中，可以使用字体⋂，或者尝试∩。）

参见

• 朴素集合论
• 并集
• 补集
• 对称差

查 论 编 集合论 公理 选择 可数 相关（英语：Axiom of dependent choice） 外延 无穷 配对 幂集 正则性 并集 马丁公理（英语：Martin's axiom） 公理模式 替代 分类 运算 笛卡儿积 德摩根定律 交集 幂集 补集 对称差 并集 概念 方法 势 基数（大基数） 类 可构造全集（英语：Constructible universe） 连续统假设 对角论证法 元素 有序对 多元组 集合族 力迫 一一对应 序数 超限归纳法 文氏图 集合类型 可数集 空集 有限集合（继承有限集合） 模糊集 无限集合 递归集合 子集 传递集合 不可数集 泛集（英语：Universal set） 理论 可替代的集合论 集合论 朴素集合论 康托尔定理 策梅洛 广义（英语：General set theory） 数学原理 新基础 策梅洛-弗兰克 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔 Morse–Kelley（英语：Morse–Kelley set theory） 克里普克–普拉特克（英语：Kripke–Platek set theory） 塔斯基–格罗滕迪克（英语：Tarski–Grothendieck set theory） 悖论（英语：Paradoxes of set theory） 问题 罗素悖论 萨斯林问题（英语：Suslin's problem） ZFC系统无法确定的命题列表 集合论者 亚伯拉罕·弗兰克尔（英语：Abraham Fraenkel） 伯特兰·罗素 恩斯特·策梅洛 格奥尔格·康托尔 约翰·冯·诺伊曼 库尔特·哥德尔 卢菲特·泽德 保尔·贝尔奈斯（英语：Paul Bernays） 保罗·寇恩 理查德·戴德金 托马斯·耶赫（英语：Thomas Jech） 威拉德·蒯因