几何代数
为几何设计的代数结构 / 维基百科,自由的 encyclopedia
数学中,几何代数(也称作实克利福德代数)是初等代数的推广,用于处理向量等几何对象。几何代数由加法与几何积两种基本运算组成,向量的乘积是更高维对象,称作多重向量。与其他处理几何对象的形式相比,几何代数在支持不同维度的对象的向量除法与加法方面具有优势。
几何积最早由赫尔曼·格拉斯曼简单提及,[1]:6他的兴趣主要在于发展与之紧密相关的外代数。1878年,威廉·金顿·克利福德大大扩展了格拉斯曼的工作,形成现在所谓克利福德代数以纪念他(虽然克利福德自己称之为“几何代数”)。克利福德将克利福德代数及其积定义为格拉斯曼代数和哈密顿的四元数代数的统一。加上格拉斯曼外积的对偶(“相遇”)就可以使用格拉斯曼–凯莱代数,后者的共形版本与共形克利福德代数一起产生了共形几何代数(CGA),为经典几何提供了框架。[2]:411实践中,这些运算和一些可派生运算可将代数的元素、子空间、运算同几种几何解释对应起来。几十年来,几何代数有些被忽视了,因为当时为描述电磁学产生的向量分析挤占了几何代数的地盘。1960年代,“几何代数”由大卫·黑斯廷斯重新发掘出来,主张其对相对论物理学的重要性。[3]
标量和向量有其通常的解释,并构成几何代数的不同子空间。二重向量可更自然地表示向量分析中的伪向量,如有向面积、旋转的有向角度、挠、角动量与电磁场。三重向量可表示有向体积,等等。称作刃的元素可用于表示V的子空间,及其上的正交投影。旋转与反射也可用元素表示。不同于向量分析,几何代数可自然地容纳任何维度和任何二次型,如相对论中的二次型。
几何代数在物理学中的应用有时空代数(及不太常见的物理空间代数)与共形几何代数。几何微积分是几何代数的推广,包含了微分和积分,可用于形成其他理论,如复分析和微分几何,例如用克利福德代数代替微分形式。大卫·黑斯廷斯[4]和Chris Doran[5]等人一直主张将几何代数作为物理学的主要数学框架。支持者声称,几何代数为包括经典力学、量子力学、电磁学、相对论等许多领域提供了紧凑而直观地描述。[6]几何代数还被用作计算机图形学[7]和机器人学的计算工具。