棣莫弗公式一個關於複數和三角函數的公式 / 维基百科,自由的 encyclopedia 棣莫弗公式是一个关于复数和三角函数的公式,命名自法国数学家亚伯拉罕·棣莫弗(1667年-1754年)。其内容为对任意实数 x {\displaystyle x} 和整数 n {\displaystyle n} ,下列性质成立: ( cos ( x ) + i sin ( x ) ) n = cos ( n x ) + i sin ( n x ) {\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)} 复平面上的立方根等于1.其中 i {\displaystyle i} 是虚数单位( i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} )。值得注意的是,尽管本公式以棣莫弗本人命名,他从未直接地将其发表过[1]。为了方便起见,我们常常将 cos x + i sin x {\displaystyle \cos x+i\sin x} 合并为另一个三角函数cis(x),也就是说: cis n ( x ) = cis ( n x ) {\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)} 在操作上,我们常常限制 x {\displaystyle x} 属于实数,这样一来就可借由比较虚部与实部的方式把 cos ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} 和 sin ( n x ) {\displaystyle \sin(nx)} 变化为 cos x {\displaystyle \cos x} 和 sin x {\displaystyle \sin x} 的形式。另外,尽管棣莫弗公式限制 n {\displaystyle n} 须为整数,但倘若适当推广本公式,便可将 n {\displaystyle n} 拓展到非整数的领域。
棣莫弗公式是一个关于复数和三角函数的公式,命名自法国数学家亚伯拉罕·棣莫弗(1667年-1754年)。其内容为对任意实数 x {\displaystyle x} 和整数 n {\displaystyle n} ,下列性质成立: ( cos ( x ) + i sin ( x ) ) n = cos ( n x ) + i sin ( n x ) {\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)} 复平面上的立方根等于1.其中 i {\displaystyle i} 是虚数单位( i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} )。值得注意的是,尽管本公式以棣莫弗本人命名,他从未直接地将其发表过[1]。为了方便起见,我们常常将 cos x + i sin x {\displaystyle \cos x+i\sin x} 合并为另一个三角函数cis(x),也就是说: cis n ( x ) = cis ( n x ) {\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)} 在操作上,我们常常限制 x {\displaystyle x} 属于实数,这样一来就可借由比较虚部与实部的方式把 cos ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} 和 sin ( n x ) {\displaystyle \sin(nx)} 变化为 cos x {\displaystyle \cos x} 和 sin x {\displaystyle \sin x} 的形式。另外,尽管棣莫弗公式限制 n {\displaystyle n} 须为整数,但倘若适当推广本公式,便可将 n {\displaystyle n} 拓展到非整数的领域。