群扩张维基百科,自由的 encyclopedia 在抽象代数中,设 Q {\displaystyle Q} 为群,若存在群 G , N {\displaystyle G,N} ,及群的正合序列 1 → N → i G → p Q → 1 {\displaystyle 1\to N{\stackrel {i}{\to }}G{\stackrel {p}{\to }}Q\to 1} (换言之, i {\displaystyle i} 是单射、 p {\displaystyle p} 是满射,且 K e r ( p ) = I m ( i ) {\displaystyle \mathrm {Ker} (p)=\mathrm {Im} (i)} ;是故可视 N {\displaystyle N} 为 G {\displaystyle G} 的正规子群, G / N ≃ Q {\displaystyle G/N\simeq Q} 。)则称群 G {\displaystyle G} 为 Q {\displaystyle Q} 的群扩张,或称 Q {\displaystyle Q} 对 N {\displaystyle N} 的扩张。 由短正合序列的同构关系,可以定义群扩张的等价类。若某个群扩张等价于 1 → N → N × Q → Q → 1 {\displaystyle 1\to N\to N\times Q\to Q\to 1} 则称此扩张为平凡扩张。当 N {\displaystyle N} 落在 G {\displaystyle G} 的中心时,称之为中心扩张。
在抽象代数中,设 Q {\displaystyle Q} 为群,若存在群 G , N {\displaystyle G,N} ,及群的正合序列 1 → N → i G → p Q → 1 {\displaystyle 1\to N{\stackrel {i}{\to }}G{\stackrel {p}{\to }}Q\to 1} (换言之, i {\displaystyle i} 是单射、 p {\displaystyle p} 是满射,且 K e r ( p ) = I m ( i ) {\displaystyle \mathrm {Ker} (p)=\mathrm {Im} (i)} ;是故可视 N {\displaystyle N} 为 G {\displaystyle G} 的正规子群, G / N ≃ Q {\displaystyle G/N\simeq Q} 。)则称群 G {\displaystyle G} 为 Q {\displaystyle Q} 的群扩张,或称 Q {\displaystyle Q} 对 N {\displaystyle N} 的扩张。 由短正合序列的同构关系,可以定义群扩张的等价类。若某个群扩张等价于 1 → N → N × Q → Q → 1 {\displaystyle 1\to N\to N\times Q\to Q\to 1} 则称此扩张为平凡扩张。当 N {\displaystyle N} 落在 G {\displaystyle G} 的中心时,称之为中心扩张。