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群扩张

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抽象代数中,设 ,若存在群 ,及群的正合序列

(换言之, 是单射、 是满射,且 ;是故可视 正规子群。)则称群 群扩张,或称 的扩张。

短正合序列的同构关系,可以定义群扩张的等价类。若某个群扩张等价于

则称此扩张为平凡扩张。当 落在 中心时,称之为中心扩张

分类

一般的群扩张不易分类。若限定 为阿贝尔群,则 的扩张等价类一一对应于 (参见条目 Ext函子)。

另一方面,若在群扩张 中, 为阿贝尔群,可任取一截面 (s 不一定是群同态),群 以共轭方式 上作用。这类扩张的等价类由群上同调 分类,并具有自然的群结构。最常见的例子是中心扩张。

李代数的扩张

利用同样作法,也可以定义李代数的扩张。此即李代数的正合序列

,称之为中心扩张。

参考资料

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