长度 (模论) - Wikiwand
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长度 (模论)

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数学中,设 ,一个 -长度是一个整数(包括无穷大),它推广了向量空间维度。有限长度的模与有限维向量空间有许多共通性。

动机

单模是除了零和本身外没有子模的,这种模有时也称为不可约模。例如不可约的向量空间(视为除环上的模)是一条直线。对于单模,我们只可能造出一种严格递增的子模链:

单模是容易处理的对象。对于一个 上的 -模 ,如果我们能找到一条严格递增的子模链:

使得每个子商 都是单模,那么此链将是极大的——我们无法插入新的子模。根据以下将阐述的定义,这时 将是有限长度的模,其长度 恰为

因此单模正好是长度为一的模。另一个例子:设 是域 上的有限维向量空间,那么一个极大的子模链是一族子空间 ,使得维度在每一步都加一:

而此时 ,这种资料称作

定义

为一个(可能非交换), 一个 -模 长度定义为严格递增的子模链长度的上确界:此即最大可能的整数 (可能是无穷大),使得 中存在严格递增的子模链 。模 的长度记为 ,不致混淆时也迳写作

例子

  • 单模的充要条件是长度为一。
  • 对于向量空间,长度等于维度。
  • 整数环 视为 -模,则其长度为无穷大,因为存在任意长的子模链
  • 设正整数 的素因数分解为 ,则有

性质

有限长的模具有许多类似有限维向量空间的性质。例如:若 为有限长模,则其子模皆有限长,设 为两个子模,,则

我们有 Grassman 公式:

对于有限长模 ,一个极大的子模链 称为一个合成列,其长度 是固定的,且合成因子 在至多差一个置换与同构的意义下唯一。

此外,一个模是有限长模当且仅当它同时是阿廷模诺特模

文献

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
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长度 (模论)
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