卡方分布(英語:chi-square distribution[2], χ²-distribution,或寫作χ²分布)是機率論與統計學中常用的一種機率分布。k個獨立的標準常態分布變量的平方和服從自由度為k的卡方分布。卡方分布是一種特殊的伽瑪分布,是統計推論中應用最為廣泛的機率分布之一,例如假說檢定和信賴區間的計算。
Quick Facts 母數, 值域 ...
卡方分布
機率密度函數 |
累積分布函數 |
母數 |
自由度 |
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值域 |
, |
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機率密度函數 |
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846f8111d6b4bae031edd73522f5a55437e5bb2c) |
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累積分布函數 |
![{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29be6d36250f57f007ebff550b9b49a7f412f94d) |
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期望值 |
![{\displaystyle k}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) |
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中位數 |
![{\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d9d3cbb5fdbb1ad7c4642e6bca9cac449b553a) |
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眾數 |
max{ k − 2, 0 } |
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變異數 |
![{\displaystyle 2k}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab358eb7defb4d2b0fc1f9e8a4e2d189fe600eb6) |
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偏度 |
![{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b153b226deb8255bbe12704015a73bb6610aa187) |
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峰度 |
![{\displaystyle 12/k}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69c8e818cdc83079cc238bc28c4c04675d087d4) |
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熵 |
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8a0590a94767ed01049fd2a9f9b65192999829) |
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動差母函數 |
,![{\displaystyle 2\,t<1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcf126ab3972e8f5e00b957964923f812738ef2) |
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特徵函數 |
[1] |
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Close
由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用於:
- 樣本某性質的比例分布與母體理論分布的適配度(例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比);
- 同一母體的兩個隨機變數是否獨立(例如人的身高與交通違規的關聯性);
- 二或多個母體同一屬性的同質性檢定(義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距)。(詳見皮爾森卡方檢定)