正交群
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數學上,數體F上的n階正交群,記作O(n,F),是F上的n×n 正交矩陣在矩陣乘法下構成的群。它是一般線性群GL(n,F)的子群,由
- 給出。
Quick Facts 群論, 基本概念 ...
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這裡QT是Q的轉置。實數體上的經典正交群通常就記為O(n)。
更一般地,F上一個非奇異二次型的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群。嘉當-迪奧多內定理描述了這個正交群的結構。
每個正交矩陣的行列式為1或−1。行列式為1的n×n正交矩陣組成一個O(n,F)的正規子群,稱為特殊正交群SO(n,F)。如果F的特徵為2,那麼1 = −1,從而O(n,F)和SO(n,F)相等;其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指數是2。特徵2且偶數維時,很多作者用另一種定義,定義SO(n,F)為迪克森不變量的核,這樣它在O(n,F)中總有指數2。
O(n,F)和SO(n,F)都是代數群,因為如果一個矩陣是正交的條件,即轉置等於逆矩陣,能夠定義成一些關於矩陣分量的多項式方程式。