Β函數

Β函數，又稱為貝塔函數或第一類歐拉積分，是一個特殊函數，由下式定義：

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\!}$

一種B函數圖像

其中${\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,}$。

性質

Β函數具有以下對稱性質：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}$

當x,y是正整數的時候，我們可以從伽馬函數定義得到如下式子：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\!}$

它有許多其它的形式，包括：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}\!}$

其中${\displaystyle \Gamma \,}$是伽瑪函數。

就像伽瑪函數描述了階乘一樣，我們也可以用貝塔函數來定義二項式係數：

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}}$

伽瑪函數與貝塔函數之間的關係

為了推出兩種函數之間的關係，我們把兩個階乘的乘積寫為：

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v.\!}$

現在，設${\displaystyle u=a^{2}}$, ${\displaystyle v=b^{2}}$，因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,\mathrm {d} b\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}\!}$

利用變量代換${\displaystyle a=r\cos \theta }$和${\displaystyle b=r\sin \theta }$，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\frac {1}{2}}{\color {red}{\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})}}\,4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\color {red}{\Gamma (x+y)}}\,2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$

因此，有：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

導數

貝塔函數的導數是：

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}$

其中${\displaystyle \psi (x)}$是雙伽瑪函數。

估計

斯特靈公式給出了一個用來近似計算貝塔函數的公式：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\approx {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}.}$

不完全貝塔函數

不完全貝塔函數是貝塔函數的一個推廣，把貝塔函數中的定積分用不定積分來代替，就像不完全伽瑪函數是伽瑪函數的推廣一樣。

不完全貝塔函數定義為：

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}$

當x = 1，上式即化為貝塔函數。

正則不完全貝塔函數（或簡稱正則貝塔函數）由貝塔函數和不完全貝塔函數來定義：

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}$

當a和b是整數時，計算以上的積分（可以用分部積分法），可得：

${\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}$

正則不完全貝塔函數是Β分布的累積分布函數，可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布：

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k)}$

其中p為試驗成功機率，n為樣本數。

性質

${\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}$

${\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}$

${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}$

參見

• Β分布
• 二項分布
• 伽瑪函數

參考文獻

• M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See §6.2, 6.6, and 26.5） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
• 用拉普拉斯变换来计算贝塔函数. PlanetMath.

外部連結

• 貝塔函數計算器
• 不完全貝塔函數計算器
• 正則不完全貝塔函數計算器