埃里希·萊曼使用拉東-尼科迪姆導數定義機率分布的機率密度函數,對引理的表述為:
內曼-皮爾森引理 — 設
為機率分布,其關於測度
的機率密度函數分別為
。
- 存在性:存在有檢定
和常數
使得
 | | 1 |
 | | 2 |
- 最強力檢定的充分條件:滿足上述條件1和2的檢定在顯著水準為
的所有檢定中檢定力最大。
- 最強力檢定的必要條件:若檢定
的顯著水準為
,且在顯著水準相同的所有檢定中檢定力最大,則存在常數
使得
在測度
上幾乎處處滿足條件2。除非存在顯著水準小於
且檢定力為
的檢定,檢定
亦滿足條件1。
上述表述中的
表示假說
為真時
的期望值。
另一種簡化後的表述則只包含了充分條件部分:
內曼-皮爾森引理 — 若檢定
的顯著水準為
,其方法為在比值

大於某常數
時拒絕
,即此時
。則任何其他顯著水準小於等於
的檢定方法的檢定力均小於等於
的檢定力。
證明
記機率分布
的機率密度函數或機率質量函數分別為
。一種檢定方法
只取
兩個值,故
是一個服從伯努利分布的隨機變數。它的顯著水準

即是假說
為真時
的期望值

它的檢定力

即是假說
為真時
的期望值

若
是顯著水準為
的概似比檢定,即
在
時取值為
,且
。設有另一個顯著水準小於等於
的檢定
,即
,則有不等式
![{\displaystyle \phi ^{*}(x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)]\leq \phi (x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3072b870f9ce404aab601b9675eea8451d27d58c)
這是因為若
,則依
的定義
;若
,則
。
對不等式兩側關於
積分或求和,則

因此
![{\displaystyle k[E_{0}(\phi (X))-E_{0}(\phi ^{*}(X))]\leq E_{1}(\phi (X))-E_{1}(\phi ^{*}(X)).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84778074ad344b100227fcc28c656675b4dd8f3e)
由於
的顯著水準小於等於
,此時不等式左側非負。因此不等式右側同樣非負,即
的檢定力亦小於等於
。