複合函數

複合函數（英語：composite function），又稱作合成函數，在數學中是指逐點地把一個函數作用於另一個函數的結果，所得到的第三個函數。例如，函數 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 和 ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ 可以複合，得到從 ${\displaystyle X}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 映射到 ${\displaystyle Z}$ 中 ${\displaystyle g(f(x))}$ 的函數。直觀來說，如果 ${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle y}$ 的函數，${\displaystyle y}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的函數，那麼 ${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的函數，得到的複合函數記作 ${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$，定義為對 ${\displaystyle X}$ 中的所有 ${\displaystyle x}$，${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$。^{[note 1]}直觀地說，複合兩個函數是把兩個函數連結在一起的過程，內函數的輸出就是外函數的輸入。

函數的複合是關係複合的一個特例，因此複合關係的所有性質也適用於函數的複合。^[1]複合函數還有一些其他性質。

定義

考慮到函數的值域跟定義域，要簡單的以「計算式」，如把所有 ${\displaystyle (x,\,x+1)}$ 和 ${\displaystyle (y,\,{\sqrt {y}})}$ 的有序對頭接尾的這樣直觀定義「合成」是會遇到問題的，像是把 ${\displaystyle x}$ 取為實數，這樣把 ${\displaystyle x+1}$ 很自然的對接到 ${\displaystyle y}$ 然後開根號成 ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ ，是會遇到對負數開根號，出現非單一值的問題（請參見棣美弗公式），就算不考慮單一值的問題，我們期望值的「合成函數」的值域到底該不該包含複數呢？所以 (1) 我們一開始就要把準備「合成」的兩個函數的值域跟定義域劃分清楚 (2) 要考慮到對接的時候，前面的值域跟後面的值域不一定相等的問題。

設我們有兩個函數 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ ，兩者的定義域分別是 ${\displaystyle D_{f}}$ 和 ${\displaystyle D_{g}}$，值域分別是 ${\displaystyle I_{f}}$ 和 ${\displaystyle I_{g}}$。如果 ${\displaystyle I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing }$ ，那我們定義合成函數為

${\displaystyle g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\,(\exists y\in I_{f}\cap D_{g})[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}}$

直觀上來說，如果 ${\displaystyle f}$ 的「輸出範圍」是有一部分在 ${\displaystyle g}$ 的「輸入範圍」，那我們就可以定義「先作用 ${\displaystyle f}$ 再作用 ${\displaystyle g}$ 」的函數，但這個「新合成」的函數的定義域可能會因此被限縮（輸出值處在兩者交集的那些 ${\displaystyle x}$ 而已）。注意到每個 ${\displaystyle x}$ 只會有一個輸出值 ${\displaystyle y}$ ，而每個 ${\displaystyle y}$ 只會有一個輸出值 ${\displaystyle z}$ ，所以這樣「先作用 ${\displaystyle f}$ 再作用 ${\displaystyle g}$ 」的話，每個 ${\displaystyle x}$ 只會有一個輸出值 ${\displaystyle z}$ 而已，這確保了 ${\displaystyle g\circ f}$ 符合我們對函數的要求。

絕對值函數與三次函數，兩個實函數以不同的次序複合。這表明了函數複合不遵守交換律

當 ${\displaystyle g\circ f=f\circ g}$ 時（注意這是集合的相等！），我們會說 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle f}$ 是可交換的。

兩個一對一函數的合成函數也是一對一的。

涉及到可導函數的複合函數的導數，可以用連鎖律求得。Faà di Bruno公式給出了複合函數的高階導數的表達式。

例子

${\displaystyle g\circ f}$，${\displaystyle f}$ 與 ${\displaystyle g}$ 的複合。例如，${\displaystyle (g\circ f)(c)=\#}$.

兩個函數複合的具體例子

• 有限集上的函數複合：若 ${\displaystyle f=\{(1,3),(2,1),(3,4),(4,6)\}}$，${\displaystyle g=\{(1,5),(2,3),(3,4),(4,1),(5,3),(6,2)\}}$，則 ${\displaystyle g\circ f=\{(1,4),(2,5),(3,1),(4,2)\}}$.
• 無限集上的函數複合：若 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ （其中 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是所有實數的集合）表達式為 ${\displaystyle f(x)=2x+4}$，而 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 表達式為 ${\displaystyle g(x)=x^{3}}$，則：

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^{3})=2x^{3}+4}$，且

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+4)=(2x+4)^{3}}$.

• 如果一架飛機在 ${\displaystyle t}$ 時刻的海拔為 ${\displaystyle h(t)}$，而海拔 ${\displaystyle x}$ 處的氧氣濃度為 ${\displaystyle c(x)}$，那麼 ${\displaystyle (c\circ h)(t)}$ 描述了 ${\displaystyle t}$ 時刻飛機周圍的氧氣濃度。

複合么半群

假設我們有兩個（或多個）函數 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$， ${\displaystyle g:X\rightarrow X}$，定義域與對應域相同；這些函數一般稱作轉換。於是，我們可以構造多個轉換複合而成的鏈，比如 ${\displaystyle f\circ f\circ g\circ f}$。這種鏈具有么半群的代數結構，稱作轉換么半群或者複合么半群。通常，轉換么半群可以具有非常複雜的結構。一個很有名的例子是德拉姆曲線。所有函數 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ 的集合稱作 ${\displaystyle X}$ 上的全轉換半群^[2]或對稱半群^[3]。（我們其實可以定義兩個半群，這取決於定義半群運算為函數左複合和右複合的方式。^[4]）

把 ${\displaystyle \bigtriangleup EFA}$ 轉換為 ${\displaystyle \bigtriangleup ATB}$ 的相似性是位似 ${\displaystyle H}$ 和以 ${\displaystyle S}$ 為中心的旋轉 ${\displaystyle R}$ 的複合。例如，${\displaystyle A}$ 在旋轉 ${\displaystyle R}$ 下的像是 ${\displaystyle U}$，可以寫作${\displaystyle R(A)=U}$。而 ${\displaystyle H(U)=B}$ 表示映射 ${\displaystyle H}$ 把 ${\displaystyle U}$ 轉換到了 ${\displaystyle B}$。因此，${\displaystyle H(R(A))=(H\circ R)(A)=B}$。

如果轉換是對射（也就可逆），則這些函數所有可能的組合就構成了一個轉換群；可以說這個群是由這些函數生成的。這就引出了群論裡面的凱萊定理從本質上表明，（在同構意義下）任何群都是某一置換群的子群。^[5]

所有對射函數 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$（稱作置換）的集合構成了一個關於複合算子的群。這就是對稱群，有時稱作複合群。

在（所有轉換的）對稱半群中，我們還可以發現一個較弱的、非唯一的逆轉換（稱作偽逆），因為對稱子群是一個正則半群。^[6]

函數冪

如果 ${\displaystyle Y\subseteq X}$，則 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 有可能可以與自身複合；這有時候記作 ${\displaystyle f^{2}}$。即：

${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)}$

更一般地，對於 ${\displaystyle n\geq 2}$ 的自然數，${\displaystyle n}$ 次函數冪可以歸納定義為 ${\displaystyle f^{n}=f\circ f^{n-1}=f^{n-1}\circ f}$。 這種函數與自身的反覆複合稱作迭代函數。

• 習慣上，${\displaystyle f^{0}}$ 定義為 ${\displaystyle f}$ 定義域上的恆同映射，${\displaystyle id_{X}}$.
• 如果 ${\displaystyle Y=X}$，而 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ 存在反函數 ${\displaystyle f^{-1}}$，那麼對於 ${\displaystyle n>0}$，負函數冪 ${\displaystyle f^{-n}}$ 定義為反函數的冪：${\displaystyle f^{-n}=(f^{-1})^{n}}$。

注意：若 ${\displaystyle f}$ 在一個環內取值（特別是對於實值或複值 ${\displaystyle f}$），存在混淆的風險，因為 ${\displaystyle f^{n}}$ 也可以表示 ${\displaystyle f}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次乘積，比如 ${\displaystyle f^{2}(x)=f(x)\cdot f(x)}$。 對於三角函數，通常會使用後者的含義，至少對於正指數是這樣。例如，在三角學中，使用三角函數 ${\displaystyle \sin ^{2}(x)=\sin(x)\cdot \sin(x)}$ 的時候，這個上標記號表示標準的指數運算。不過，對於負指數（特別是 −1），則通常指的是反函數，例如，${\displaystyle \tan ^{-1}=\arctan \neq {\frac {1}{\tan }}}$.

在一些情況下，對於給定函數 ${\displaystyle f}$，方程式 ${\displaystyle g\circ g=f}$ 只有一個解 ${\displaystyle g}$ 的時候，該函數可以定義為 ${\displaystyle f}$ 的函數平方根，記作 ${\displaystyle g=f^{\frac {1}{2}}}$.

更一般地，當 ${\displaystyle g^{n}=f}$ 只有唯一解時（自然數 ${\displaystyle n>0}$），${\displaystyle f^{\frac {m}{n}}}$可以定義為 ${\displaystyle g^{m}}$.

在額外的限制下，這個想法還可以推廣，使得迭代函數可以是一個連續的參數；在此情形下，這樣的系統稱作流，由施洛德方程式定義。迭代函數和流很自然地出現在碎形和動態系統的研究中。

為避免混淆，有些數學家把 ${\displaystyle f}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次迭代寫作 ${\displaystyle f^{\circ n}}$.

其他記法

許多數學家，特別是群論方面的數學家，省去複合符號，把 ${\displaystyle g\circ f}$ 寫作 ${\displaystyle gf}$.^[7]

在20世紀中葉，一些數學家認為用「${\displaystyle g\circ f}$」來表示「首先施加 ${\displaystyle f}$，然後施加 ${\displaystyle g}$」太令人困惑，於是決定改變記法。他們用「${\displaystyle xf}$」來代表「${\displaystyle f(x)}$」，用「${\displaystyle (xf)g}$」來代表「${\displaystyle g(f(x))}$」。^[8]這在某些領域會比函數寫在左面更加自然和簡便—比如在線性代數中，當 ${\displaystyle x}$ 為行向量，${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 表示矩陣，而複合是通過矩陣乘法完成的時候。這種替代記法稱作後綴表示法。順序很重要，因為函數複合不一定是可交換的（比如矩陣乘法）。向右進行施加函數和複合的寫法複合從左到右的閱讀順序。

使用後綴表示法的數學家可能會寫「${\displaystyle fg}$」，表示先施加 ${\displaystyle f}$ 再施加 ${\displaystyle g}$，這樣就能與後綴表示法中的符號的順序保持一致，不過這就會讓「${\displaystyle fg}$」這個記號有歧義了。計算機科學家可能用 ${\displaystyle f;g}$ 來表示 [1] ，這樣就能區分出複合的順序了。要把左複合算子和文本分好區分開來，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用於左關係複合。^[9]由於所有函數都是二元關係，在函數複合中也應該用[粗]分號（參見 關係複合條目了解此記法的詳細內容）。

複合算子

給定函數 ${\displaystyle g}$，複合算子 ${\displaystyle C_{g}}$ 定義為使得

${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$

的從函數映射到函數的算子。在算子理論領域會研究複合算子。

多元函數

對於多元函數來說，部分複合是有可能的。當函數 ${\displaystyle f}$ 的部分參數 ${\displaystyle x_{i}}$ 由 ${\displaystyle g}$ 換掉後得到的結果在一些計算機工程文獻中，記作 ${\displaystyle f|_{x_{i}=g}}$

${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

當 ${\displaystyle g}$ 是一個常數 ${\displaystyle b}$ 時，複合退化為一個（部分）求值，其結果就會是限制或者輔因子。^[10]

${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

通常，多元函數的複合可能涉及若干其他函數作為參數，如原始遞迴函數的定義。給定 ${\displaystyle f}$，一個 ${\displaystyle n}$ 元函數，${\displaystyle n}$ 個 ${\displaystyle m}$ 元函數 ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$，${\displaystyle f}$ 與 ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ 的複合是 ${\displaystyle m}$ 元函數

${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))}$.

這有時稱作 ${\displaystyle f}$ 與 ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ 的廣義複合。^[11]在這個一般化的情形中，可以通過把所有這些用作參數的函數合適地選為射影函數，只保留一個參數函數，就能得到前面提到的只有一個參數部分複合的函數。還要注意，在這個一般化情形中，${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ 可以看作是單個向量或元組值函數，這樣理解的話，這就是複合函數的標準定義。^[12]

某些基本集 ${\displaystyle X}$ 上的一些有限性運算稱作克隆，它們需要包含所有射影，並且在廣義複合下封閉。請注意，克隆通常包含各種元數（arity）的運算。^[11]交換的概念在多元情形中葉有一個有意思的推廣：如果元數 ${\displaystyle n}$ 的函數 ${\displaystyle f}$ 是保持 ${\displaystyle g}$ 的同態函數（${\displaystyle g}$ 的元數為 ${\displaystyle m}$），則可以說 ${\displaystyle f}$ 與 ${\displaystyle g}$ 是可交換的，反之亦然。例如：^[13]

${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$.

一元運算總是與自己可交換，但二元（或者更多元）運算不一定如此。與自身可交換的二元（或更多元）運算稱為medial或entropic。^[13]

推廣

複合可以推廣到任意二元關係。若 ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ 與 ${\displaystyle S\subseteq Y\times Z}$ 是兩個二元關係，則它們的複合 ${\displaystyle S\circ R}$ 是定義為 ${\displaystyle \{(x,z)\in X\times Z:\exists y\in Y.(x,y)\in R\land (y,z)\in S\}}$. 考慮二元關係的一個特殊情形（函數關係），複合函數滿足關係複合的定義。

偏函數的複合可是用相同方式定義的定義，有一個類似凱萊定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。^[14]

具有態射函數的集合範疇叫做原型範疇（prototypical category）。範疇的公理實際上受到了複合函數的性質（和定義）啟發。^[15]由複合形成的結構在範疇論中被公理化和推廣，函數的概念換成了範疇論中的態射。公式 ${\displaystyle (f\circ g)^{-1}=(g^{-1}\circ f^{-1})}$ 中的反序複合，同樣適用於使用逆關係的關係複合，因此在群論中也適用。這些結構形成了dagger範疇。

排版

複合算子 ∘  編碼為U+2218 ∘ RING OPERATOR ，HTML：∘。參見Degree symbol條目中外觀類似的Unicode字符。在TeX中，寫作\circ。

參見

• 組合子邏輯
• 函數分解（英語：Functional decomposition）
• 迭代函數
• 解析函數的無限複合（英語：Infinite compositions of analytic functions）
• 流
• 高階函數
• 蛛網圖（英語：Cobweb plot），函數複合的圖形方法
• Λ演算
• 函數平方根（英語：Functional square root）
• 複合環（英語：Composition ring），複合運算的形式公理化
• 隨機變數函數