勒貝格點

在數學的實分析中，一個函數f的定義域上的一點，稱為勒貝格(Lebesgue)點，大約是指在該點附近可以取任意小的鄰域，使得f在這鄰域上的平均，非常接近f在該點的值。

定義

若${\displaystyle \mu }$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的拉東測度，${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$，${\displaystyle 1\leq p<\infty }$，${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\mathbb {R} ^{n},\mu )}$，即${\displaystyle |f|^{p}}$是局部可積函數，那麼若點${\displaystyle x}$適合

${\displaystyle \lim _{r\to 0+}{\frac {1}{\mu (B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f-f(x)|^{p}\mathrm {d} \mu =0}$，

則稱${\displaystyle x}$是勒貝格點。（其中${\displaystyle B(x,r)}$是以x為中心，r為半徑的閉球。）勒貝格微分定理證明了在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中，勒貝格點是${\displaystyle \mu }$幾乎處處的。

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.