單參數酉群的斯通定理

在數學中，單參數酉群的斯通定理是泛函分析的一個基本定理，建立了希爾伯特空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上強連續單參數酉群與該空間上的某個自伴算子的一一對應關係。具體來說，單參數酉群是指么正算子構成的單參數族 ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ，且 ${\displaystyle t\mapsto U_{t}}$是一個連續群同態，所謂強連續是指

${\displaystyle \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ).}$

該定理由Marshall Stone （1930, 1932）證明，而 John von Neumann （1932） 表明，至少當希爾伯特空間是可分的， ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ 的強連續性可以放寬為弱可測。

這是一個令人印象深刻的結果，因為它允許人們定義映射 ${\displaystyle t\mapsto U_{t}}$ 的導數，而該映射僅僅需要是連續的。它也與李群和李代數的理論有關。

正式表述

定理^[1] — 設 ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ 是一個強連續的單參數酉群。那麼存在一個唯一的（可能是無界的）自伴算子 ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$ 滿足 $${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.}$$ ${\displaystyle A}$ 的定義域 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}}$ 定義為 $${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.}$$

反過來，設 ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$ 是一個 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}}$ 上的（可能無界的）自伴算子，並定義單參數的么正算子族 ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ 為 $${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ,\quad U_{t}:=e^{itA},}$$ 則其構成一個強連續的單參數群。

在定理的兩個部分中，表達式 ${\displaystyle e^{itA}}$ 是通過博雷爾函數演算來定義的，它用到了無界自伴算子的譜定理。

無窮小生成元

上述定理中的算子 ${\displaystyle A}$ 被稱為 ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ 的無窮小生成元。此外， ${\displaystyle A}$ 有界若且唯若映射 ${\displaystyle t\mapsto U_{t}}$ 是範數連續的。

強連續酉群 ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ 的無窮小生成元 ${\displaystyle A}$ 可以用下面的式子來計算：

${\displaystyle A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},}$

其中， ${\displaystyle A}$ 的定義域為由這些在範數拓撲中存在極限的向量 ${\displaystyle \psi }$ 組成。也就是說， ${\displaystyle A}$ 等於 ${\displaystyle -i}$ 乘以 ${\displaystyle U_{t}}$ 關於 ${\displaystyle t}$ 在 ${\displaystyle t=0}$ 處的導數。該定理的一部分內容就是該導數的存在性——即 ${\displaystyle A}$ 是一個稠密定義的自伴算子。這個結果即使在有限維情況下也不是顯然的，因為 ${\displaystyle U_{t}}$ 僅被假設具有（關於時間的）連續性，而不必可微。

例子

平移算子族

${\displaystyle \left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)}$

是一個由酉算子構成的單參數酉群；其無窮小生成元是一個空間上的微分算子

${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$

的一個擴張（英語：Extensions of symmetric operators），該空間由 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上連續可微的緊支撐復值函數構成。因此

${\displaystyle T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.}$

換句話說，直線上的運動是由動量算子生成的。

應用

斯通定理在量子力學中有著廣泛的應用。例如，給定一個孤立的量子力學系統，其狀態的希爾伯特空間為 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ，其時間演化則是 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上的強連續單參數酉群。這個群的無窮小生成元即是系統的哈密頓算子。

基於傅立葉變換的表述

斯通定理可以用傅立葉變換的語言來重述。實軸 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是一個局部緊阿貝爾群。群C*-代數（英語：Group algebra of a locally compact group） ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ 的非退化*-表示與 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的強連續么正表示（即強連續的單參數酉群）一一對應。另一方面，傅立葉變換是 ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ 到 ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ 的*-同態，其中 ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ 是實軸上的在無窮遠處消失的連續復值函數所構成的C*-代數。因此，強連續單參數酉群與 ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ 的*-表示之間存在一一對應關係。由於 ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ 的每個*-表示唯一地對應於一個自伴算子，就得到了斯通定理。

因此，獲得強連續單參數酉群的無窮小生成元的過程如下：

• 設 ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ 是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 在希爾伯特空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上的強連續么正表示。
• 積分此酉表示以產生 ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ 在 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上的非退化*-表示 ${\displaystyle \rho }$ 。即，先定義$${\displaystyle \forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)U_{t}dt,}$$再將 ${\displaystyle \rho }$ 連續擴張到整個 ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ 。
• 使用傅立葉變換獲得 ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ 在 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上的非退化的 *-表示 ${\displaystyle \tau }$ 。
• 根據里斯-馬爾可夫-角谷表示定理， ${\displaystyle \tau }$ 給出 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的一個投影值測度，而其是唯一的（可能無界的）自伴算子 ${\displaystyle A}$ 的單位分解。
• 於是， ${\displaystyle A}$ 就是 ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ 的無窮小生成元。

${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ 的精確定義如下。考慮 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的緊支撐連續復值函數，通過由卷積給出其乘法，其構成一個*-代數 ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )}$ 。這個 *-代數關於L1範數可完備化為一個巴拿赫*-代數，記作 ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star )}$ 。於是 ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ 就被定義為 ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star )}$ 的包絡${\displaystyle C^{*}}$ -代數 ，即 ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star )}$ 相對於最大的可能的C*-範數的完備化。一個非平凡的事實是，傅立葉變換是 ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ 與 ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ 間的一個同構。這個方向的一個結果是黎曼-勒貝格引理，它指出傅立葉變換將 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ 映射到 ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ 。

推廣

斯通-馮諾伊曼定理將斯通定理推廣到滿足正則對易關係的一對自伴算子 ${\displaystyle (P,Q)}$ 上，並證明它們都與 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 上的位置算符和動量算符么正等價。

希爾-吉田定理（英語：Hille–Yosida theorem）將斯通定理推廣到巴拿赫空間上的強連續單參數壓縮半群。