正交多項式

函數${\displaystyle W(x)}$若在區間(a,b)可積，且${\displaystyle W(x)\geq 0}$，則可作為權函數。

對於一個多項式的序列${\displaystyle {f_{i}}}$和權函數${\displaystyle W(x)}$，定義內積 ${\displaystyle :\langle f_{m},f_{n}\rangle =\int _{a}^{b}f_{m}(x)f_{n}(x)\,W(x)\,dx}$

若${\displaystyle n\neq m}$，${\displaystyle \langle f_{m},f_{n}\rangle =0}$，這些多項式則稱為正交多項式（英語：Orthogonal Polynomials）。

若${\displaystyle {f_{i}}}$除了正交之外，更有${\displaystyle \langle f_{n},f_{n}\rangle =1}$的話，則稱為規範正交多項式。

例子

若權函數為1，區間為(-1,1)，${\displaystyle f_{0}(x)=1}$，對應的正交多項式有：

${\displaystyle f_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle f_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}\,}$

${\displaystyle f_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}}\,}$

${\displaystyle f_{4}(x)={\frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}}\,}$

${\displaystyle \vdots }$

它們稱為勒讓德多項式。

對於任意向量空間的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基，正交化的結果便是勒讓德多項式。

常見的正交多項式

• 柴比雪夫多項式
• 雅可比多項式
• 埃爾米特多項式
• 拉蓋爾多項式
• 蓋根鮑爾多項式
• 哈恩多項式
• 拉卡多項式
• 查理耶多項式
• 連續雙哈恩多項式
• 貝特曼多項式
• 雙重哈恩多項式
• 小q-雅可比多項式
• 本德爾·鄧恩多項式
• 威爾遜多項式
• Q哈恩多項式
• 大q-雅可比多項式
• Q-拉蓋爾多項式
• Q拉卡多項式
• 梅西納多項式
• 克拉夫楚克多項式
• 梅西納-珀拉澤克多項式
• 連續哈恩多項式
• 連續q-哈恩多項式
• Q梅西納多項式
• 阿斯克以-威爾遜多項式
• Q克拉夫楚克多項式
• 大q-拉蓋爾多項式
• 雙Q克拉夫楚克多項式
• Q查理耶多項式
• 澤爾尼克多項式
• 羅傑斯-斯澤格多項式
• 戈特利布多項式

性質

• 遞迴方程式

${\displaystyle f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}}$

其中 ${\displaystyle b_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad a_{n}=b_{n}({\frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}'}{k_{n}}}),\qquad c_{n}=b_{n}({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}),\qquad h_{n}=\langle f_{n},f_{n}\rangle }$

• 實根：所有正交多項式系中的正交多項式都有${\displaystyle n}$個實根，這些根是相異且在正交區間之內。
• 奇偶性：若${\displaystyle W(x)}$為偶函數，且正交區間為${\displaystyle (-a,a)}$，則有${\displaystyle f_{n}(-x)=(-1)^{n}f_{n}(x)}$。

外部連結

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. chapter 22 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
• Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials
• Orthogonal polynomials （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (Springer Online Reference Works)