热门问题
时间线
聊天
视角
雙伽瑪函數
来自维基百科,自由的百科全书
Remove ads
Remove ads
雙伽瑪函數是伽瑪函數的對數導數。

它是第一個多伽瑪函數。
Remove ads
與調和數的關係
雙伽瑪函數,通常用ψ0(x)、ψ0(x)或來表示,與調和數有以下的關係:
其中Hn是第n個調和數,γ是歐拉-馬歇羅尼常數。對於半整數的值,它可以表示為:
Remove ads
積分表示法
它有以下的積分表示法:
也可以寫為
這可以從調和數的歐拉積分公式得出。
Remove ads
泰勒級數
雙伽瑪函數有一個有理ζ級數,由z=1的泰勒級數給出。這是
- ,
牛頓級數
雙伽瑪函數的牛頓級數可從歐拉積分公式得出:
其中是二項式係數。
Remove ads
反射公式
雙伽瑪函數滿足一個反射公式,類似於伽瑪函數的反射公式:
Remove ads
遞推關係
雙伽瑪函數滿足以下的遞推關係:
高斯和
雙伽瑪函數具有以下形式的高斯和:
其中m是整數,且。在這裡,ζ(s,q)是赫爾維茨ζ函數,是一個伯努利多項式。乘法定理的一種特殊情況是:
一個推廣為:
其中假設了q是自然數,而1-qa則不是。
Remove ads
高斯雙伽瑪定理
對於正整數和 ,雙伽瑪函數可以用初等函數來表示:
Remove ads
特殊值
雙伽瑪函數有以下的特殊值:
Remove ads
參見
參考文獻
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 參見第§6.3(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)節。
- 埃里克·韋斯坦因. Digamma function. MathWorld.
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads