基本單位 (數論)

在代數數論，基本單位，是數體中代數整數環的生成元（即模單位根），可理解為單位群模其扭子群是個無限循環群。狄利克雷單位定理表明：rank=1的有實二次體，複三次域，完全四元數域。

隨時代發展，當對rank ≥1*基本單位也被有些作者叫基本單位系，rank=1時的才基本單位，這只是基本單位系的一個系元.^[1]

實二次體

實二次體${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$（d無平方因子），如果Δ表示代數數體K的判別式，則基本單位是：

${\displaystyle \epsilon ={\frac {a+b{\sqrt {\Delta }}}{2}}}$

其中 (a, b) 是下面佩爾方程式的最小正整數解^[2]

${\displaystyle x^{2}-\Delta y^{2}=\pm 4}$

上面的佩爾方程式可通過${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$的連分數展開獲得。這個不定方程式現在得出一些結論：

• ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$連分數展開是奇週期的。
• 有機率表明Δ如果能整除一個3mod4的同餘的質數，那麽K有範為-1的單位機率較大。如d=34就為反例，1990年，Peter Stevenhagen 提出個機率模型，專找反例。特別的，當 Δ < X ，對如果能整除一個3mod4的同餘的質數的D(X)，其共軛D⁻(X)有範為-1的單位機率為^[3]：

${\displaystyle \lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {D^{-}(x)}{D(x)}}=1-\prod _{j\geq 1{\text{ odd}}}\left(1-2^{-j}\right).}$。

也就是這種特例下有42%反例，至2012年3月，最近對這個猜想的結果^[4] 為可有33％~59％的反例。

三次域

如果「K」是只有一個實嵌入的複三次域，且在嵌入中基本單位ε賦值滿足|ε| > 1 ，判別式賦值|Δ| ≥ 33，^[5] 則：

${\displaystyle \epsilon ^{3}>{\frac {|\Delta |-27}{4}}.}$

例：${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$基本單位的${\displaystyle 1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2^{2}}}}$ 的三次方≈ 56.9, ，判別式= −108 則：

${\displaystyle {\frac {|\Delta |-27}{4}}=20.25.}$