對數分布

在概率論與統計學中，對數分布是一種離散概率分布形式，它也稱為對數級數分布。

對數分布

母數	${\displaystyle 0<p<1\!}$
值域	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$
機率質量函數	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!}$
累積分布函數	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!}$
期望值	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!}$
眾數	${\displaystyle 1}$
變異數	${\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!}$
動差母函數	${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}\!}$
特徵函數	${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}\!}$

對數分布是從−ln(1−p)的麥克勞倫級數展開

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

派生出來的，因此

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

這樣就可以直接導出呈Log(p)分布的隨機變量在${\displaystyle k\geq 1}$且${\displaystyle 0<p<1}$時的概率集聚函數：

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

由於上面是單位值，所以這個分布已經進行了歸一化。

累積分布函數位

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

其中${\displaystyle \mathrm {B} }$是不完全貝塔函數。

羅納德·費雪將這種分佈應用在群體遺傳學上。

參見

• 泊松分布（also derived from a Maclaurin series）