動差母函數

機率論用語 来自维基百科,自由的百科全书

機率論統計學中,一個實數值隨機變數動差母函數moment-generating function)又稱動差生成函數動差亦被稱作矩,動差生成函數是其機率分布的一種替代規範。 因此,與直接使用機率密度函數累積分布函數相比,它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變數的加權和定義的分布的動差生成函數,有特別簡單的結果。 然而,並非所有隨機變數都具有動差生成函數。

顧名思義,動差生成函數可用於計算分布的動差:關於 0 的第個動差是動差生成函數的第階導數,在 0 處求值。

除了實值分布(單變量分布),動差生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變數,甚至可以擴展到更一般的情況。

特徵函數不同,一個實數值分布的動差生成函數並不總是存在。 分布的動差生成函數的行為與分布的性質之間存在關係,例如動差的存在。

定義

隨機變數的動差母函數定義為:

前提是這個期望值存在。

計算

如果具有連續機率密度函數,則它的動差母函數由下式給出:

其中是第階動差。雙邊拉普拉斯轉換

不管機率分布是不是連續,動差母函數都可以用黎曼-斯蒂爾吉斯積分給出:

其中累積分布函數

如果是一系列獨立的隨機變數,且

其中是常數,則的機率密度函數是每一個的機率密度函數的摺積,而的動差母函數則為:

 。

對於分量為實數向量值隨機變數X,動差母函數為:

其中是一個向量,數量積

意義

只要動差母函數在周圍的開區間存在,第個動差為:

 。

如果動差母函數在這個區間內是有限的,則它唯一決定了一個機率分布。

一些其它在機率論中常見的積分轉換也與動差母函數有關,包括特徵函數以及機率生成函數

累積量生成函數是動差母函數的對數。

例子

下面是一些動差生成函數和特徵函數的例子,用於比較。 可以看出,特徵函數是動差生成函數存在時的威克轉動(Wick rotation)

更多資訊 動差生成函數 ...
分布 動差生成函數 特徵函數
退化
伯努利
幾何
二項式
負二項 [註 1] [1]
卜瓦松
均勻(連續型)
均勻(離散型)
拉普拉斯
常態
卡方(Chi-squared)
Noncentral chi-squared
伽瑪(Gamma)
指數(Exponential)
多元常態
柯西(Cauchy) 不存在
Multivariate Cauchy

[2]

不存在
關閉

參見

參考文獻

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.