映射

映射（英語：map，mapping）或稱射影、寫像，在數學及相關的領域經常等同於函數。基於此，部分映射就相當於部分函數，而完全映射相當於完全函數。在很多特定的數學領域中，這個術語用來描述具有與該領域相關聯的特定性質函數，例如，在拓撲學中的連續函數，線性代數中的線性變換等等。^[1][2]

定義

在形式邏輯中

這個術語有時用來表示函數謂詞（Functional predicate），在那裡函數是集合論中謂詞的模型。

在集合論中

設${\displaystyle A,B}$是兩個非空集合，若對${\displaystyle A}$中的任一元素${\displaystyle x}$，依照某種規律或法則${\displaystyle f}$，恆有${\displaystyle B}$中唯一確定的元素${\displaystyle y}$與之對應，則稱此對應規律或法則${\displaystyle f}$為一個從${\displaystyle A}$到${\displaystyle B}$的映射。

記作 ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ 或 ${\displaystyle f:x\mapsto y}$

並且，稱集合${\displaystyle A}$為映射${\displaystyle f}$的定義域，集合${\displaystyle B}$為映射${\displaystyle f}$的到達域；稱${\displaystyle y}$為${\displaystyle x}$的像，${\displaystyle x}$為${\displaystyle y}$的原像^[3]。

記作 ${\displaystyle y=f(x)}$

此外，稱集合${\displaystyle R_{f}}$為映射${\displaystyle f}$的值域，

記作 ${\displaystyle R_{f}=\left\{f(x)|x\in A\right\}}$ 或 ${\displaystyle R_{f}=f(A)}$

${\displaystyle R_{f}}$ 稱為${\displaystyle A}$在${\displaystyle f}$作用下的像。

參見

• 同態
• 態射
• 單射
• 滿射
• 單射、雙射與滿射