度規函數

度規函數是數學凸分析的一個重要函數。設${\displaystyle E}$為${\displaystyle \mathbb {R} }$或${\displaystyle \mathbb {C} }$上的向量空間，有需要時可以假設為拓撲向量空間。設${\displaystyle C}$為在${\displaystyle E}$內的凸集，且包含原點。那麼${\displaystyle C}$的度規函數${\displaystyle p}$是從${\displaystyle E}$到${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$的函數，定義為

${\displaystyle p(x)=\inf \,\{\lambda >0\,\mid \,x\in \lambda C\}}$,

如果${\displaystyle C}$為空集，定義${\displaystyle p(x)=+\infty }$。

從定義立刻得到以下結果，可以進一步說明度規函數：

${\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}\subset C\subset \{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}$

• 若${\displaystyle C}$是在${\displaystyle E}$中的開集，那麼${\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)<1\}}$；
• 若${\displaystyle C}$是在${\displaystyle E}$中的閉集，那麼${\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}$。

性質

凸性

度規函數符合次加性，因此是凸函數。

只取有限值的條件

包含${\displaystyle 0}$的凸集${\displaystyle C}$的度規函數不取${\displaystyle +\infty }$，當且僅當${\displaystyle C}$是吸收的。

同樣地可立刻看出這條件當${\displaystyle 0}$是${\displaystyle C}$的內點時成立。易證逆命題在有限維時成立：簡潔做法是看到${\displaystyle p}$既是有限值和處處定義的凸函數，因而${\displaystyle p}$連續，故此${\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}}$包含在${\displaystyle C}$內且是${\displaystyle 0}$的鄰域。

當${\displaystyle 0}$是在${\displaystyle C}$的內部時，可以想像這樣一幅圖畫：函數取值1的點正好是凸集${\displaystyle C}$的邊界，其他正數值的水平面是其位似形。如果有不在任一個水平面上的點，函數在該點取值為${\displaystyle 0}$。

最後再補充一點。在實向量空間時，${\displaystyle C}$相對${\displaystyle 0}$點對稱，其度規函數避開${\displaystyle +\infty }$值，這度規函數便是半範數；在複向量空間也有同樣結論，只需把對稱的定義，修改為與任何模為1的複數相乘都不變。

原點外不取0值的條件

從定義看出度規函數在原點外一點${\displaystyle x_{0}}$取 ${\displaystyle 0}$值，當且僅當從原點過${\displaystyle x_{0}}$的射線包含在凸集內。

因此立刻可知在賦範向量空間內，有界凸集的度規函數不在原點外取 ${\displaystyle 0}$值。

逆命題對有限維空間內的閉凸集成立，用半徑為1的球面的緊緻性證明。

設${\displaystyle C}$為在有限維空間內包含${\displaystyle 0}$的閉凸集。${\displaystyle C}$有界當且僅當其度規函數除原點外不取${\displaystyle 0}$值。

用途

• 在拓撲向量空間理論，引入一族適合的度規函數，便能夠以半範數描繪局部凸空間的特性。

• 在凸集的幾何中，度規函數是有用的工具，能把純幾何問題（研究超平面），轉變成純分析問題（研究超平面的方程）。在凸集分離和支撐超平面理論的一個基礎結果，就是哈恩-巴拿赫定理的幾何形式，其中的證明關鍵，在觀察到對適合方程${\displaystyle f(x)=1}$的超平面，要求超平面避開給定包含原點的開凸集，與要求函數${\displaystyle f}$和凸集的度規函數${\displaystyle p}$適合不定方程${\displaystyle p\leq f}$是相同的。

參考書目

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130