度規符號

在數學中，度量張量g （或等效地，實二次型，被認為是有限維向量空間上的實對稱雙線性形式）的度規符號是這個度量張量的實對稱矩陣g_ab相對於基的正、負和零特徵值的數量（以多重性計算）。在相對論物理學中， v通常表示時間或虛擬維度的數量，而p表示空間或物理維度的數量。或者，它可以定義為最大正子空間和零子空間的維數。根據西爾維斯特慣性定律，這些數字不依賴於基的選擇，因此可以用來對度量進行分類。它用三個整數(v, p, r)表示，其中v是度量張量的正特徵值的數量，p是負特徵值的數量，r是度量張量的零特徵值的數量。它也可以表示為(v, p)表示r = 0，或者以特徵值符號的明確列表表示，例如，對於符號(1, 3, 0)和 (3, 1, 0) ，分別為(+, −, −, −)或(−, +, +, +) (3, 1, 0) 。

如果v和p都非零，則該度規符號被稱為不確定或混合的；如果r非零，則該度規符號被稱為退化的。黎曼度量是具有正定特徵(v, 0)的度量。洛倫茲度量是具有特徵(p, 1)或(1, p)的度量。

非退化度量張量的度規符號還有另一種概念，它由一個定義為(v − p)的數值s給出，其中v和p如上所述，當維度n = v + p給定或隱含時，它等同於上述定義。例如， s = 1 對於(+, −, −, −) ，− 3 = −2；對於(−, +, +, +) ，其鏡像s' = − s = +2。

定義

度量張量的符號定義為相應二次形式的符號。 ^[1]它是表示形式的任何矩陣（即，在底層向量空間的任何基中）的正、負和零特徵值的數量(v, p, r) ，按它們的代數重數計算。通常要求r = 0 ，這與度量張量必須是非退化的相同，即沒有非零向量與所有向量正交。

根據西爾維斯特慣性定律，數字(v, p, r)與基的選擇無關。

特性

符號和尺寸

根據譜定理，對稱n × n實數上的n × n矩陣始終可對角化，因此恰好具有n 個實特徵值（用代數重數計算 ）。因此v + p = n = dim(V) 。

西爾維斯特慣性定律：基選擇的獨立性和正交基的存在性

根據西爾維斯特慣性定律，純量積（又名實對稱雙線性形式）的符號g不依賴於基的選擇。此外，對於度規符號(v, p, r)的每個度量g，都存在一個基礎，使得當a = b = 1, ..., v g_ab = +1 ，... a = b = 1, ..., v, g_ab = −1其中a = b = v + 1, ..., v + p a = b = v + 1, ..., v + p且g_ab = 0 。由此可知，若且唯若g ₁和g ₂的度規符號相等時，才存在等距(V₁, g₁) → (V₂, g₂) 。同樣，對於兩個全等矩陣，其符號相等，並將矩陣分類為全等。等價地，度規符號在對稱秩 2 逆變張量空間S ² V ^∗上的一般線性群GL( V ) 的軌道上是常數，並對每個軌道進行分類。

指標的幾何解釋

指標 v（相應地，p）為純量積 g 在其上為正定（相應地，負定）的向量子空間的最大維數，而 r 是純量積 g 的根基（radical）的維數，也即該純量積的對稱矩陣 g_ab 的零空間維數。

因此，一個非退化純量積的符號為 (v,p,0)，且 v+p=n。

這類特殊情況 (v,p,0) 的一種對偶性，對應於兩類純量特徵值（即正特徵值與負特徵值），它們可以通過相互鏡像的操作（例如，將整個純量積乘以-1）而互換。

示例

矩陣

n × n單位矩陣的符號為(n, 0, 0) 。對角矩陣的特徵是其主對角線上正數、負數和零的數量。

以下矩陣具有相同的符號(1, 1, 0) ，因此根據西爾維斯特慣性定律，它們是全等的：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

純量積

標準純量積定義在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$具有n維符號(v, p, r) ，其中v + p = n且秩r = 0 。

在物理學中，閔可夫斯基空間是一個時空流形${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$其中v = 1 和p = 3 個鹼基，並且有一個純量積，由以下任一方式定義${\displaystyle {\check {g}}}$矩陣：

${\displaystyle {\check {g}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

有度規符號${\displaystyle (1,3,0)^{-}}$被稱為「空間至上」或「類空間」；或鏡像特徵${\displaystyle (1,3,0)^{+}}$被稱為虛擬優勢或類時${\displaystyle {\hat {g}}}$矩陣。

${\displaystyle {\hat {g}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\check {g}}}$

如何計算度規符號

有一些方法可以計算矩陣的度規符號。

• 對於任何非退化對稱n × n矩陣，對其進行對角化（或找到它的所有特徵值）並計算正號和負號的數量。
• 對於對稱矩陣，特徵多項式將具有所有實根，這些實根的符號在某些情況下可能完全由笛卡爾符號規則確定。
• 拉格朗日算法提供了一種計算正交基的方法，從而計算出與另一個矩陣全等（因此具有相同的度規符號）的對角矩陣：對角矩陣的度規符號是其對角線上正元素、負元素和零元素的數量。
• 根據雅可比標準，一個對稱矩陣是正定的若且唯若它的所有主子式的行列式都是正的。

物理學中的度規符號

在理論物理學中，時空由偽黎曼流形建模。度規符號計算時空中有多少個類時間或類空間特徵，其意義由狹義相對論定義：在粒子物理學中，度量在類時間子空間上有一個特徵值，在類空間子空間上有一個鏡像特徵值。在閔可夫斯基度量的具體情況下，

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}$

度規符號是${\displaystyle (1,3,0)^{+}}$或 (+, −, −, −)，若其特徵值在時間方向上定義，或${\displaystyle (1,3,0)^{-}}$如果特徵值在三個空間方向x 、 y和z上定義，則為 (−, +, +, +)。（有時會使用相反的符號約定，但這裡給出的s直接測量固有時。）

符號變更

如果一個度量處處正則，則該度量的度規符號為常數。然而，如果度量在某些超曲面上退化或不連續，則度量的符號在這些曲面上可能會發生變化。 ^[2]這類符號變化的度量可能在宇宙學和量子引力領域有應用。

參見

• 偽黎曼流形
• 符號約定