抽樣分布

在統計學中，抽樣分布是由隨機抽樣的樣本統計量所形成的機率分布^[1]。母體的數值特徵被稱為母數，例如母體均值 ${\displaystyle \mu }$、母體標準差 ${\displaystyle \sigma }$ 和母體比例 ${\displaystyle p}$ 等。而對於樣本而言，樣本統計量可以看做是樣本的函數，是一個隨機變數。每一次抽樣都會得到一個對應的樣本均值 ${\displaystyle {\bar {x}}}$、樣本誤差 ${\displaystyle s}$ 和樣本比例 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 等，作為對母體參數的估計值。而這些統計量所形成的機率分布即抽樣分布。

樣本均值

對於樣本均值而言，其抽樣分布具有如下性質：

${\displaystyle {\bar {x}}}$ 的期望值等於該樣本選取自的母體均值。 $${\displaystyle E({\bar {x}})=\mu }$$

將樣本均值 ${\displaystyle {\bar {x}}}$ 的標準差記為 ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$，樣本容量記為 ${\displaystyle n}$，母體容量記為 ${\displaystyle N}$。

對於無限母體：

$${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$$ 對於有限母體：

$${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}({\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})}$$

這裡 ${\displaystyle {\sqrt {(N-n)/(N-1)}}}$ 通常被稱為有限母體修正係數。一般認為當樣本容量小於母體容量的5%，即 ${\displaystyle n/N\leq 0.05}$ 時，該係數可以忽略不計。

樣本比例

對於樣本比例而言，其抽樣分布具有如下性質：

${\displaystyle {\bar {p}}}$ 的期望值等於該樣本選取自的母體比例。 $${\displaystyle E({\bar {p}})=p}$$

將樣本比例 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 的標準差記為 ${\displaystyle \sigma _{\bar {p}}}$，樣本容量記為 ${\displaystyle n}$，母體容量記為 ${\displaystyle N}$。

對於無限母體：

$${\displaystyle \sigma _{\bar {p}}={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$$ 對於有限母體：

$${\displaystyle \sigma _{\bar {p}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$$

同樣，當 ${\displaystyle n/N\leq 0.05}$ 時，該係數可以忽略不計。