拉格朗日定理 (群論)

拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。

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定理陳述

拉格朗日定理^[1] — 如果 ${\displaystyle H}$ 是群 ${\displaystyle G}$ 的子群^{[註 1]}，那麼 $${\displaystyle |G|=|H|[G:H]}$$ 而如果 ${\displaystyle G}$ 是有限群，那麼這個定理可以簡化成—— ${\displaystyle |H|}$ 是 ${\displaystyle |G|}$ 的因數。

證明思路

定理的證明利用了陪集的以下性質：

1. 一個子群的所有陪集在集合意義下有相同的大小^{[註 2]}（ Cardinality ）^[2]。
2. 一個子群的所有陪集分割^{[註 3]}了整個群^[3]。
3. 根據集合的特性， ${\displaystyle G}$ 的大小可以寫成是陪集的大小（ ${\displaystyle |H|}$ ）乘上^{[註 4]}陪集的數量（ ${\displaystyle [G:H]}$ ）。

推論

1. 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 ${\displaystyle G}$ 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 ${\displaystyle G}$ 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。
2. 如果 ${\displaystyle |G|}$ 是質數，那麽 ${\displaystyle G}$ 同構於質數階的循環群 ${\displaystyle C_{|G|}}$ （因為質數沒有 ${\displaystyle 1}$ 和自身以外的因數）^[4]。
3. 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論^[5]。

逆命題

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 ${\displaystyle |G|}$ 的因數可能不是任何子群的階。例如交錯群 ${\displaystyle A_{4}}$ 的階是 ${\displaystyle 12}$ ，但它沒有任何階是 ${\displaystyle 6}$ 子群^[6]。然而柯西定理以及它的推廣——西羅定理——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階；而如果 ${\displaystyle G}$ 是可解群的話，則西羅定理還可以進一步推廣成霍爾定理（英語：Hall subgroup#Hall's theorem）。

參見

• 群
• 陪集
• 費馬小定理
• 西羅定理
• 有限群
• 階 (群論)