交錯群

數學中，交錯群（alternating group）是一個有限集合偶置換之群。集合 ${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$上的交錯群稱為 ${\displaystyle n}$階交錯群，或 ${\displaystyle n}$ 個字母上的交錯群，記做 ${\displaystyle A_{n}}$或 ${\displaystyle \mathrm {Alt} (n)}$。

群論
群
基本概念 子群 · 正規子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直積 · 直和 單純群 · 有限群 · 無限群 · 拓撲群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 離散群 有限單群分類 循環群 Zn 交錯群 An 李型群 散在群 馬蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 揚科群 J1..4 費歇爾群（英語：Fischer group）F22..24 子魔群（英語：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 對稱群, Sn 二面體群, Dn 無限群 整數, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 連續群 李群 一般線性群 GL(n) 特殊線性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 么正群 U(n) 特殊么正群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 龐加萊群 無限維群 共形群 微分同胚群 環路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代數群 橢圓曲線 線性代數群（英語：Linear algebraic group） 阿貝爾簇（英語：Abelian variety）
閱 論 編

例如，4 階交錯群是 ${\displaystyle A_{4}=\{e,(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$ （參見輪換記法）。

基本性質

對 ${\displaystyle n>1}$，群${\displaystyle A_{n}}$是對稱群 ${\displaystyle S_{n}}$的交換子群，指數為 2，從而有${\displaystyle {\frac {n!}{2}}}$個元素。它是符號群同態 ${\displaystyle \operatorname {sgn} :S_{n}\to \{1,-1\}}$的核。

群 ${\displaystyle A_{n}}$ 是阿貝爾的若且唯若 ${\displaystyle n\leq 3}$，是單純群若且唯若 ${\displaystyle n=3}$ 或 ${\displaystyle n\geq 5}$。注意 ${\displaystyle A_{3}}$ 事實上是 3 階單純群。${\displaystyle A_{1}}$與 ${\displaystyle A_{2}}$ 是 1 階群，一般不稱為單純群的，而 ${\displaystyle A_{4}}$ 有一個非平凡正規子群從而不是單純群。${\displaystyle A_{5}}$是最小非阿貝爾單純群，階數為 60，也是最小不可解群。

共軛類

在對稱群中，${\displaystyle A_{n}}$ 的共軛類由有相同輪換型的元素組成。但是如果輪換類型只由沒有兩個長度相等的奇數長的輪換組成，這裡長為 1 的輪換包含在輪換型中，則對這樣的輪換型恰有兩個共軛類 (Scott 1987，§11.1, p299)。

例如：

• 兩個置換 (123) 與 (132) 有相同的輪換型從而在 S₃ 中共軛，但在 A₃ 中不共軛。
• 置換 (123)(45678) 與其逆 (132)(48765) 有相同的輪換型所以在 S₈ 中共軛，但在 A₈ 中不共軛。

自同構群

更多資訊：對稱群和交錯群的自同構

${\displaystyle n}$	${\displaystyle {\mbox{Aut}}(A_{n})}$	${\displaystyle {\mbox{Out}}(A_{n})}$
${\displaystyle n\geq 4,n\neq 6}$	${\displaystyle S_{n}\,}$	${\displaystyle C_{2}\,}$
${\displaystyle n=1,2\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle 1\,}$
${\displaystyle n=3\,}$	${\displaystyle C_{2}\,}$	${\displaystyle C_{2}\,}$
${\displaystyle n=6\,}$	${\displaystyle S_{6}\rtimes C_{2}}$	${\displaystyle V=C_{2}\times C_{2}}$

對 n > 3，除了 n = 6，A_n 的自同構群就是 S_n 的自同構群，其內自同構群為 A_n 外自同構群為 Z₂；外自同構來自用一個奇置換共軛。

對 n = 1 與 2，自同構群平凡。對 n = 3 自同構群是 Z₂，其內自同構群平凡外自同構群為 Z₂。

A₆ 的外自同構群是克萊因四元群 V = Z₂ × Z₂，這也是 S₆ 的自同構群。 A₆ 另外的自同構將三輪換（比如 (123)）與 3² 型元素（比如 (123)(456)）交換。

特殊同構

在小交錯群與小李型群之間有一些同構。他們是

• A₄ 同構於 PSL₂(3) 以及手征性四面體對稱之對稱群。
• A₅ 同構於 PSL₂(4)，PSL₂(5)，以及手征性二十面體對稱之對稱群。
• A₆ 同構於 PSL₂(9) 與 PSp₄(2)'。
• A₈ 同構於 PSL₄(2)。

更顯然有 A₃ 同構於循環群 Z₃，以及 A₁ 與 A₂ 同構於平凡群（也是 SL₁(q)=PSL₁(q) 對任何 q）。

子群

A₄ 是說明拉格朗日定理的逆命題一般不成立的最小群：給定一個有限群 G 和 |G| 的一個因子 d，不一定存在 G 的一個 d 階子群。群 G = A₄，階為 12，沒有 6 階子群。有三個元素的子群（由三個物件的輪換旋轉生成）再加上任何一個其它元素生成整個群。

群同調

交錯群的群同調體現了類似穩定同倫理論（英語：stable homotopy theory）中的穩定性：對足夠大的 n 是常值。

H₁：阿貝爾化

第一同調群與阿貝爾化相同，因為 ${\displaystyle A_{n}}$ 除去已經提到的例外是完全群（完滿群），從而有

${\displaystyle H_{1}(A_{3},\mathbf {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbf {Z} /3;\,}$

${\displaystyle H_{1}(A_{4},\mathbf {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbf {Z} /3;\,}$

${\displaystyle H_{1}(A_{n},\mathbf {Z} )=0}$ for ${\displaystyle n=1,2}$ and ${\displaystyle n\geq 5.\,}$

H₂：舒爾乘子

當 n 等於 5 或大於等於 8 時，交錯群 A_n 的舒爾乘子（英語：Schur multiplier）是 2 階循環群；在 6 和 7 時有一個三重覆蓋，則舒爾乘子的階數為 6。

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=0}$ for ${\displaystyle n=1,2,3;\,}$

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /6}$ 對 ${\displaystyle n=6,7;\,}$

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2}$ 對 ${\displaystyle n=4,5}$ 與 ${\displaystyle n\geq 8.}$

參考文獻

• Scott, W.R., Group Theory, New York: Dover Publications, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8
• 徐明曜, 有限群导引·上册（第二版）, 北京: 科學出版社, 2001, ISBN 7-03-007119-0