除法

除法（英語、法語：division）是四則運算之一。除法運算的本質，就是「把參與運算的除數變為${\displaystyle 1}$，得出同比的被除數的值」。

將20個蘋果平均分成四等分（左上），每份有5個蘋果（右下），即${\displaystyle {{20}\div {4}}=5}$；亦可以說成，將20個蘋果每5個分成一份（右下），共可分成四等分（左上），此時可以表達為${\displaystyle {{20}\div {5}}=4}$

例如：${\displaystyle {{6}\div {3}}=2}$，就好像${\displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0}$， ${\displaystyle {\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}}$，${\displaystyle 6}$被${\displaystyle 3}$減了兩次後，就變成了${\displaystyle 0}$。

如果

${\displaystyle a\times b=c}$

而且${\displaystyle b}$不等於零，那麼

${\displaystyle a=c\div b}$

其中，a稱為商數，b稱為除數，c稱為被除數。

如果除式的商數（${\displaystyle a}$）必須是整數，則稱為帶餘除法，${\displaystyle a\times b}$與${\displaystyle c}$相差的數值，稱為餘數（${\displaystyle d}$）。

${\displaystyle c\div b=a\dots d}$

這也意味著

${\displaystyle c=a\times b+d}$

在高等數學、科學、工程學和計算機程式語言中，${\displaystyle c\div b}$寫成${\displaystyle c/b}$。如果我們毋需知曉確切值，或者留待以後引用，這種形式也常稱之為分數的最終形式。其中尋找商數的函數為${\displaystyle \operatorname {div} }$，尋找餘數（即模除）的函數則為${\displaystyle \operatorname {mod} }$。

在代數結構範疇中，除法運算存在兩種基本形式，對應不同的數學結構定義：

• 帶餘除法（歐幾里得除法）​​：若代數結構中定義了帶餘除法（即存在商和餘數，且餘數的範數嚴格小於除數的範數），則該結構稱為歐幾里得整環​。例如，一元多項式環（係數取自域）在其多項式次數構成的範數下構成歐幾里得整環。
• 無餘除法​​：若代數結構中所有非零元素均可逆（即對任意非零元素 ${\displaystyle a}$，存在 ${\displaystyle b}$ 使得 ${\displaystyle ab=ba=1}$），則該結構稱為​​域​​；若僅滿足乘法可逆性（不要求交換性），則稱為​​除環​​。例如，複數是域，而四元數是除環。

引言

首先，進入正題前，我們不妨來看兩個生活中的例子：

• 將500克糖果均分給8人：由${\displaystyle {\dfrac {500}{8}}=62{.}5}$可得，每人獲得62.5克糖果（無餘除法）
• 500克奶粉，按70克/份分配：由${\displaystyle {\dfrac {500}{70}}=7{.}14\ldots }$可得，可完整分配7份，餘量≈0.14份（帶餘除法）

其次，數學和物理存在許多「比例關係反演」（法語：Loi affine）：

• 已知某物體重力 ${\displaystyle P=m\times g}$ ，可得質量 ${\displaystyle m=P/g}$；
• 已知勻速直線運動狀態下，某物體行進距離 ${\displaystyle d=v\times t}$ ，可得時間 ${\displaystyle t=d/v}$；
• 對一般仿射關係 ${\displaystyle y=ax+b}$ ，其逆映射為 ${\displaystyle x=(y-b)/a}$；
• 當函數局部可線性化時（如泰勒展開一階近似）：${\displaystyle y=f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\times (x-x_{0})}$ ，

可構造逆函數近似解：${\displaystyle x\simeq x_{0}+{\frac {f(x)-f(x_{0})}{f'(x_{0})}}}$；${\displaystyle f^{-1}(y)\simeq x_{0}+{\frac {y-f(x_{0})}{f'(x_{0})}}}$；

此乃牛頓迭代法求根的理論基礎：${\displaystyle f^{-1}(0)\simeq x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}}$。

可見，在數學，尤其是在基本算術中，除法可視為「乘法的反運算」，也可理解為「重複的減法」。

定義

基本定義

首先，我們來定義整數間的帶餘除法。這一運算的核心，是將被除數表示為「除數的整數倍+餘數」的形式，且餘數需滿足特定條件。

具體而言，對於任意整數 ${\displaystyle a}$ 和非零整數 ${\displaystyle b}$，存在唯一的整數 ${\displaystyle q}$（商）和 ${\displaystyle r}$（餘數），使得：

${\displaystyle a=b\times q+r}$ 且 ${\displaystyle 0\leq r<|b|}$

其中，餘數 ${\displaystyle r}$ 的非負性及小於除數絕對值的性質確保了分解的唯一性。

該定義是數論中整除、同餘等概念的基礎，並廣泛用於模運算、輾轉相除法等算法中。

帶餘除法的概念，已能凸顯​​除零問題​​的本質：如何將一個量分成0份？顯然，這沒有實際意義。

隨後，我們引入十進制數​​的概念，並通過​​遞迴處理餘數​​的方式擴展計算過程，由此便有了​​有理數​​的定義體系。​​至於實數，則​​在有理數基礎上拓展而成。

此時可以設想，將整體劃分為更小的​​單位份額​​，從而實現​​分數除法​​：將一個量除以 ${\displaystyle 0.1}$（即${\displaystyle 1/10}$），意味著初始量相當於${\displaystyle 1/10}$個單位份額，進而求出完整單位的大小；而將一個量除以負數，則相當於計算需要移除的單位份額規模。

​​無理數無法直觀理解為具體數量，但可視為一種比​​​​——例如正方形對角線與邊長之比，或圓周長與其直徑之比。至此，除法運算不再能單純定義為「劃分」，而應理解為​​乘法逆運算​​。

基於此定義，除以零仍無意義。由於零乘任何數都得零（${\displaystyle 0\times a=0}$），零便有無窮多個乘法反元素。我們亦可從極限角度理解該問題——因為除以某數等價於乘以其倒數，故可將原問題轉化為函數${\displaystyle f(x)=1/x}$在零點處極限的操作：當 ${\displaystyle x}$ 從左側趨近於零時，極限為${\displaystyle -\infty }$，從右側趨近時，則為${\displaystyle +\infty }$。

即便通過引入​​廣義實數集​​（即在實數軸上添加${\displaystyle -\infty }$和${\displaystyle +\infty }$這兩個「偽無窮大」）來擴展數系，問題仍未解決，因為極限值的符號不確定性依然存在。由此可見，​​除法在代數與數分中具有根本性意義。

其它定義

環論中的除法定義

設 ${\displaystyle (A,+,\times )}$ 為整環​​​，則 ${\displaystyle A}$ 上的​​除法運算​​定義為滿足以下條件的二元關係：

• 運算規則：對於任意 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in A}$ ，${\displaystyle a\div b=c}$ ，若且唯若 ${\displaystyle b\times c=a}$（其中 ${\displaystyle b\neq 0}$）；
• 唯一性：整環的乘法消去律保證除法結果唯一（若 ${\displaystyle b\times c_{1}=a}$ 且 ${\displaystyle b\times c_{2}=a}$，則 ${\displaystyle c_{1}=c_{2}}$）；
• 定義域限制​​：除法僅在 ${\displaystyle \mathrm {A} \times (\mathrm {A} -\{0\})}$ 上有定義，即除數不能為零。

從整環到域的擴展

若 A 為​​交換環​​，可通過​​等價關係​​擴展除法：

• 定義等價關係${\displaystyle \sim }$：${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\iff a\times b'=a'\times b}$，其等價類稱為​​分數​​，記為 ${\displaystyle a/b}$；
• 擴展後的集合${\displaystyle A/\sim }$構成​​域​​（含乘法反元素），其中 ${\displaystyle 0/1}$ 為加法單位元素，${\displaystyle 1/1}$ 為乘法單位元素。此即有理數體 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的構造基礎。

關鍵限制與意義

• 除零禁止​​：零元素無乘法反元素，故 ${\displaystyle b=0}$ 時除法無定義。
• 與歐幾里得除法的區別​​：
  • 環論中的除法是乘法的逆運算，強調代數結構；
  • 歐幾里得除法側重整數間的帶餘除法（如上文的帶餘除法），兩者本質不同。

符號與表示

主條目：除號

基礎算術中，除號「÷」仍被廣泛使用，而在代數與科學領域，除法通常用​​水平橫線（也被稱為分數分劃線）或​​斜槓表示被除數與除數的關係。除這三種以外，還有其它不同形式。

除號形式

用除號將被除數和除數相隔開：

${\displaystyle a\div b}$

但實際上，除了在基礎算術外，這種形式並不常見。ISO 80000-2-10.6標準明確禁止使用該符號​​，因部分歐洲國家用 ÷ 表示減法，容易產生混淆。^[1]

分數分劃線形式​​

將​​被除數​​置於分數線上方，​​除數​​置於下方，例如：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

該形式可讀作「a除以b」、「b除a」或「a比b」。

斜槓與反斜槓形式

在單行文本中，使用斜槓分隔被除數與除數，例如：

${\displaystyle a/b}$

此寫法常見於程式語言和計算器輸入中。

另外，有部分數學軟體（如MATLAB、GNU Octave）採用反斜槓表示運算順序反轉的除法：

${\displaystyle b\backslash a}$ (等價於${\displaystyle a/b}$）

還有以上下標斜槓顯示的：

${\displaystyle {}^{a}\!/{}_{b}}$

冒號形式

在某些非英語國家，有的用冒號將被除數和除數相隔開：

${\displaystyle a:b}$

此用法由奧特雷德於1631年最先引入，自萊布尼茲於1684年提倡以來，才為人廣泛應用。^[2]:295 萊布尼茲更喜歡用同一個符號表示除法和比率。而在英語用法中，「:」一般只表示比率。

在大部分非英語語言中，${\displaystyle c:b}$代表${\displaystyle c\div b}$的比，讀做c比b；${\displaystyle c/b}$則代表${\displaystyle c\div b}$的比值。用法請參照比例。

除了以上這四種形式，美國自19世紀起便開始使用 ${\displaystyle b)a}$ 或 ${\displaystyle b{\overline {)a}}}$ 來單獨表示 ${\displaystyle a}$ 除以 ${\displaystyle b}$，尤常見於長除法中。時至今日，美國仍有零星人口使用這種寫法。^[3]

性質

嚴格而言，除法並不構成集合上的內部合成法則（法語：Loi de composition interne）（一種二元運算），其所謂「性質」並不構成數集的結構特性，而應理解為分數形式的固有屬性。

非運算性質

1. ​​非交換律​​：${\displaystyle 5\div 3\neq 3\div 5}$
2. 非結合律​​：${\displaystyle 12\div (4\div 3)\neq (12\div 4)\div 3}$

特殊元素與等式關係

• 右單位元素​​：對任意數 ${\displaystyle a}$ ，存在 ${\displaystyle {\dfrac {a}{1}}=a}$ 。
• 左零吸收元​​：當 ${\displaystyle b\neq 0}$ 時，${\displaystyle {\dfrac {0}{b}}=0}$ 。
• 分數等式​​：
  • 同分母時：當 ${\displaystyle b\neq 0}$ 時，${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}={\dfrac {c}{b}}\iff a=c}$ 。
  • 通分等價：當 ${\displaystyle b\neq 0\wedge d\neq 0}$ 時，${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}={\dfrac {c}{d}}\iff ad=bc}$ 。
  • 順序保持性​​：當 ${\displaystyle b>0}$ 時，分數 ${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}}$ 與 ${\displaystyle {\dfrac {c}{b}}}$ 的大小關係與原數 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle c}$ 保持一致。

不同的除法運算

零除以任何非零的數都為零。即在被除數為零，除數非零的前提下，商數為零。

整數除法

整數集在除法運算下沒有封閉性，這意味著，兩個整數相除，結果不一定是整數。除零操作本身即無定義外，當被除數不是除數的整數倍時，商將呈現為非整數形式。

以26除以11為例，其商即便非整數，但也屬於有理數範疇。此時通常採用以下5種處理策略：

1. 將此類除法視為​​偏函數​​，即當除法無法得到整數結果時直接判定為無定義。這種處理方式嚴格遵循數學定義，但會限制運算的應用範圍。
2. 採用​​浮點近似法​​，將結果表示為帶有小數部分的實數。這是數值計算方面的通用做法，例如 ${\displaystyle 26\div 11=2.3636...}$ 該方法通過犧牲精確性來換取運算的普適性，但可能引入捨入誤差。
3. 通過​​分數形式​​保持精確性，將結果表示為最簡分數${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}}$或帶分數${\displaystyle 2{\tfrac {4}{11}}}$。這種處理要求分子分母的最大公因數為1，例如${\displaystyle {\tfrac {52}{22}}}$經約簡後同樣得到${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}}$。分數體系通過引入有理數集 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ，使整數除法在更廣泛的數系中保持封閉性。
4. 採用​​歐幾里得除法​​，將結果分解為商和餘數的組合形式：${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.}$ 這種表達式滿足${\displaystyle 0\leq 4<11}$，其數學基礎可追溯至《幾何原本》中關於線段分割的公理體系。該處理方式在密碼學和算法設計中具有重要應用，如RSA加密演算法中的模冪運算。
5. 實施​​整數截斷​​，直接取商的地板值（floor function），即${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2}$。該處理方式在程式語言中普遍使用，如C語言的整數除法運算符「/」默認採用此規則。但需要注意的是：
   1. 不同語言對負數處理存在差異。例如，C語言採用向零取整（T-division），而Python採用向下取整（F-division）。
   2. 不同語言對整數除法的實現存在顯著差異。例如，MATLAB和計算機代數系統通常返回精確分數，而Java、C++等語言則返回截斷後的整數。為獲取完整結果，多數語言提供輔助函數，如Python的divmod()可同時獲取商和餘數，Java的Math.floorDiv()可實現地板值除法。
   3. 術語方面，「div」、「/」、「\」等符號在不同語境下可能代表不同運算規則。例如，C++中的「/」運算符對整數執行截斷除法，而對浮點數執行精確除法；Python的「//」運算符則嚴格實施地板值除法。這種語義差異要求程式員必須明確上下文環境。

欲快速判定整數可除性（整除性），可藉助​​整除規則​​：如2的倍數末位為偶數，3的倍數各位數字之和可被3整除等。這些規則本質上是數論中同餘理論的特例。

有理數除法

在除數非零的前提下，兩個有理數相除，結果仍為有理數。

具體而言，對於有理數${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$和${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$（其中 ${\displaystyle p,q,r,s}$均為整數且 ${\displaystyle q,s\neq 0}$），其除法運算可表示為：

$${\displaystyle {p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}}$$

該公式表明，有理數的除法本質上是乘以除數的倒數。所有參與運算的量均為整數，且僅有分子 ${\displaystyle p}$ 允許為零（此時結果為有理數0）。

這一定義嚴格保證了除法與乘法的逆運算關係：若 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {e}{f}}}$ ，則必然滿足 ${\displaystyle {\frac {e}{f}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}}$ 。

實數除法

由有理數除法可得，在除數非零的前提下，兩實數相除，結果仍為實數。

複數除法

代數形式的複數除法

對於兩個非零複數 ${\displaystyle p+iq}$ 和 ${\displaystyle r+is}$（其中 ${\displaystyle p,\,q,\,r,\,s\in \mathbb {R} }$，且 ${\displaystyle r}$ 和 ${\displaystyle s}$ 不同時為零），其除法運算通過​​分母實數化​​實現。先將分子和分母同時乘以分母的共軛複數 ${\displaystyle r-is}$ ，分子展開後再分離實部與虛部，即

$${\displaystyle {p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}}$$

該方法通過消去分母的虛部實現有理化，分母變為實數。

極坐標形式的複數除法

當上文複數表示為極坐標形式 ${\displaystyle pe^{iq}}$ 和 ${\displaystyle re^{is}}$ （與上述條件相同外， ${\displaystyle p,r>0}$ ）時，運算可進一步簡化為：

$${\displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}}$$

該方法直接利用歐拉公式的性質，避免了複雜的代數運算。

多項式除法

主條目：多項式除法

和整數之間的帶餘除法類似，一元多項式之間也可以進行帶餘除法。 證明：

設有多項式${\displaystyle A}$和非零多項式${\displaystyle B}$，則存在唯一的多項式${\displaystyle Q}$和${\displaystyle R}$，滿足：

${\displaystyle A=BQ+R}$

而多項式${\displaystyle R}$若非零多項式，則其冪次嚴格小於${\displaystyle B}$的冪次。

作為特例，如果要計算某個多項式${\displaystyle P}$除以一次多項式${\displaystyle X-a}$得到的餘多項式，可以直接將${\displaystyle a}$代入到多項式${\displaystyle P}$中。${\displaystyle P}$除以${\displaystyle X-a}$的餘多項式是${\displaystyle P(a)}$。

具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如，計算${\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}$除以${\displaystyle X-3}$，列式如下：

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}$

因此，商式是${\displaystyle \ X^{2}-9X-27}$，餘式是${\displaystyle \ -123}$。

矩陣除法

矩陣除法可通過逆矩陣運算實現，通常定義為右除​​：對於可逆方陣 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ ，其除法運算表示為：

${\displaystyle A/B=A\cdot B^{-1}}$

其中 ${\displaystyle B^{-1}}$ 為 ${\displaystyle B}$ 的逆矩陣。為避免歧義，該運算更常見於顯式寫出乘積形式 ${\displaystyle AB^{-1}}$ 。

此外，矩陣的​​元素級除法​​可通過阿達瑪積定義，即對應元素相除：

${\displaystyle {A \over B}=A\circ B}$ （要求 ${\displaystyle B}$ 元素非零）

抽象代數除法

抽象代數中，給定一個帶有二元運算 * 的廣群，​​左除​​（記為 a \ b ）通常定義為滿足方程式 a ∗ x = b 的解 ${\displaystyle x}$ ，類似地，​​右除記為 b / a ）通常定義為滿足方程式 y ∗ a = b 的解 ${\displaystyle y}$ 。這種除法定義不要求運算 * 具有交換性、結合性或單位元素等性質。若一個廣群中，所有元素對 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 的左除和右除均存在且唯一（即滿足​​拉丁方陣），則該廣群稱為​​擬群​​。在擬群中，即使沒有單位元素和反元素，這種除法運算始終可行。

消去性質與除法運算的擴展

在任意廣群中，若元素 ${\displaystyle a}$ 滿足消去律，則可通過 ${\displaystyle a}$ 對元素進行消去操作。例如：

• 矩陣代數​​中，可逆矩陣的左乘或右乘滿足消去律；
• 四元數代數​​中，非零元素滿足消去律；
• 擬群​​的結構天然支持消去操作。

在​​整環​​中，雖然並非所有元素都有反元素，但對可消去元素 ${\displaystyle a}$ ，仍可對形如 ${\displaystyle ab}$ 或 ${\displaystyle ca}$ 的元素進行左除（ a \ (ab) = b）或右除（ (ca) / a = c）。進一步地，若一個有限環的所有非零元素均滿足消去性質，則根據​​鴿巢原理​​，每個非零元素必為可逆元素，從而該環成為​​除環，此時任意非零元素均可作除法。

除法代數的分類與博特週期性

​​博特週期性定理​​表明，對於滿足特定條件的代數結構（如有限維實範數除法代數），其僅能與以下四類結構同構：

• ​​實數體​​ ${\displaystyle \mathbb {R} }$（維度 1）；
• 複數域​​ ${\displaystyle \mathbb {C} }$（維度 2）；
• 四元數代數​​ ${\displaystyle \mathbb {H} }$（維度 4）；
• ​​八元數代數​​ ${\displaystyle \mathbb {O} }$（維度 8）。

這一分類結果揭示了除法代數維度的內在規律性，並在拓撲學與量子場論中具有重要應用。

二進制除法

講完以上十進制除法，我們來介紹計算機科學領域更為常見的二進制編碼數除法。

二元歐幾里得除法

首先，我們來思考兩個正整數 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 的除法運算，採用歐幾里得除法。

設 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 均為 ${\displaystyle n}$ 位二進制數，其中 ${\displaystyle a(i)}$ 表示第 ${\displaystyle i}$ 位（從右向左，編號為 ${\displaystyle 0}$ 至 ${\displaystyle n-1}$），${\displaystyle a(i:j)}$ 表示從第 ${\displaystyle i}$ 位到第 ${\displaystyle j}$ 位的連續位段。以下偽代碼（因詞彙採用法語而非英語，如無另外說明，以下偽代碼詞彙皆用法語）實現了該除法的商 ${\displaystyle Q}$ 和餘數 ${\displaystyle R}$ 的計算：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
    
    Q := 0 ; R := a ; // initialisation
    pour i = n-1 → 0
        si a(n:i) >= b alors
            Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
            R = a(n:i) - b ; // reste
        fin
     fin
     retourne [Q, R] ;
fin

算法從被除數的最高位開始，逐步截取與除數同長度的位段（記為 ${\displaystyle a(n:i)}$），並判斷是否滿足 ${\displaystyle a(n:i)\geq b}$ 。若當前截取的被除數高位段（從最高位開始逐步擴展）小於除數，則商的對應位為0；若該位段數值大於等於除數b，則通過一次減法操作確定商的當前位為1，並更新餘數 ${\displaystyle R=a(n:i)-b}$ 。

原始偽代碼通過逐位比較實現，而最佳化版本有以下改進：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    Q := 0 ; R := 0 ; // initialisation
    pour i = n-1 → 0
        R = décalage_à_gauche_de_bits(R, 1) ; // équivaut à rajouter un 0 à droite
        R(1) = a(i) ; // le bit de poids faible de R est le i-ème bit du numérateur
        si R >= b alors
            Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
            R = R - b ; // reste
        fin
    fin
    retourne [Q, R] ;
fin

而對於浮點數，只需將其分解為尾數和指數，公式為：

${\displaystyle {\frac {2^{m}\,a}{2^{n}\,b}}=2^{m-n}{\frac {a}{b}}}$

但需處理捨入誤差，如採用捨入到最近偶數策略。

總之，該算法僅需​​比較、位移、減法​​三種基本操作，體現了計算機算術運算中​​位級最佳化​​的核心思想，適合在微處理器中通過組合邏輯電路或狀態機實際操作。

相對較慢的算法

設被除數 ${\displaystyle a}$ 和除數 ${\displaystyle b}$ 均為 ${\displaystyle n}$ 位二進制數，其中 ${\displaystyle a(i)}$ 表示第 ${\displaystyle i}$ 位（從右向左，編號為 ${\displaystyle 0}$ 至 ${\displaystyle n-1}$），${\displaystyle a(i:j)}$ 表示從第 ${\displaystyle i}$ 位到第 ${\displaystyle j}$ 位的連續位段。算法核心思想是通過遞迴關係構造商 ${\displaystyle Q}$ 和餘數 ${\displaystyle R}$ 。

在第 ${\displaystyle i}$ 步迭代中，餘數更新公式為：

${\displaystyle R_{i}=B\times R_{i-1}-Q_{n-i}\times b}$

若當前餘數 ${\displaystyle R_{i-1}}$ 左移後大於等於除數 ${\displaystyle b}$ ，則商位 ${\displaystyle Q_{n-i}=1}$ ，更新餘數

${\displaystyle R_{i}=2\times R_{i-1}-b}$

若結果為負，則商位 ${\displaystyle Q_{n-i}=0}$ ，需恢復餘數

${\displaystyle R_{i}=2\times R_{i-1}+b}$（通過加回除數實現）

此算法下，原始版本偽代碼如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R := a // valeur initiale du reste
    b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
    pour i = n-1 → 0
        R := décalage_à_gauche_de_bits(b, 1)
        si R >= b alors
             Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
             R = R - b
        sinon
             Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
        fin
    fin
    retourner[Q, R]
fin

最佳化版本偽代碼如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R := a // valeur initiale du reste
    b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
    pour i = n-1 → 0
        R := 2*R - b // le reste décalé est-il supérieur à b ?
        si R >= 0 alors
            Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
        sinon
            Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
            R := R + b // on restaure la valeur du reste en gardant le décalage
        fin
    fin
    retourner[Q, R]
fin

由於循環中的最後一條語句，這種算法被稱為「帶恢復的除法」。通過引入​​+1和-1商位生成機制​​，可改進為無恢復餘數算法。

例如，二進制數11101010可通過以下方式計算： 11101010 -00010101 --------- 11010101，通過​​商位符號擴展​​避免餘數恢復步驟。

無恢復餘數算法偽代碼如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R[0] := a
    i := 0
    tant que i < n
        si R[i] >= 0 alors
            Q[n-(i+1)] := 1
            R[i+1] := 2*R[i] - b
        sinon
            Q[n-(i+1)] := -1
            R[i+1] := 2*R[i] + b
        fin
        i := i + 1
    fin
    Q = transforme(Q)
    retourner[Q, R]
fin

另外，還有SRT算法，一種通過​​商位查找表​​的非恢復方法。

相對更快的算法

快速除法的核心思想，是通過​​計算倒數​​實現除法運算，即先計算 ${\displaystyle x=1/b}$ ，再通過乘法 ${\displaystyle Q=a\times x}$ 得到商。此乃牛頓-拉夫森法，其數學形式為：

${\displaystyle x_{i}=x_{i-1}-{\frac {f_{b}(x_{i-1})}{f'_{b}(x_{i-1})}}}$

其中，函數 ${\displaystyle f_{b}(x)=0}$ 的零點即為 ${\displaystyle 1/b}$。迭代公式可簡化為：

${\displaystyle x_{i}=x_{i-1}+x_{i-1}(1-bx_{i-1})}$

為加速收斂，需對 ${\displaystyle 1/b}$ 進行初始估計。先將除數 ${\displaystyle b}$ 的二進制指數對齊至區間 ${\displaystyle [0,5;1]}$ ，再採用預計算的線性近似公式：

${\displaystyle x_{0}={\frac {48}{17}}-{\frac {32}{17}}b\ (\simeq 2{,}82-1,88b)}$

其中係數 ${\displaystyle 48/17}$ 和 ${\displaystyle 32/17}$ 已預先存儲為常數。

牛頓-拉夫森法具有​​二次收斂性​​，誤差隨迭代次數指數級下降。對於 ${\displaystyle p}$ 位精度，所需迭代次數為：

${\displaystyle s=\log _{2}\left({\frac {p+1}{\log _{2}17}}\right)}$

欲求單精度浮點數（24位尾數），需要約3次迭代；欲求雙精度浮點數（53位尾數），則需約4次迭代。

牛頓-拉夫森法偽代碼如下：

fonction [Q] = diviser(a, b)
    e := exposant(b) // b = M*2^e (représentation en virgule flottante)
    b' := b/2^{e + 1} // normalisation ; peut se faire par un décalage de e+1 bits à droite
    a' := a/2^{e + 1} // 0.5 <= b <= 1 ; a'/b' = a/b
    X := 48/17 - 32/17*b' // initialisation de la méthode de Newton
    pour i = 1 → s // s précalculé en fonction du nombre p de bits de la mantisse
        X := X + X*(1 - b*X)
    fin
    Q := a'*X
    retourne[Q]
fin

至於高施密特法，則是基於倒數逼近原理實現除法運算。其核心思想是通過構造因子序列

${\displaystyle F_{k}=f_{k}\times f_{k-1}\times \ldots f_{1}=\prod (f_{i})}$

使得歸一化後的除數b滿足收斂條件

${\displaystyle b_{k}=F_{k}\times b\Longrightarrow 1}$。

整除

整除是數學中兩個自然數之間的一種關係。自然數${\displaystyle a}$可以被自然數${\displaystyle b}$整除，是指${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的因數，且a是b的整數倍數，也就是${\displaystyle a}$除以${\displaystyle b}$沒有餘數。

${\displaystyle a\div b=q\dots 0}$

因數判別法可參照整除規則。

表示方法

${\displaystyle b\mid a}$表示${\displaystyle b}$整除${\displaystyle a}$，即${\displaystyle a}$是${\displaystyle b}$的倍數，${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的因數。

舉例

${\displaystyle 15}$可以被${\displaystyle 5}$整除，記作${\displaystyle 5\mid 15}$。

${\displaystyle 20}$不能被${\displaystyle 6}$整除（因為餘數為${\displaystyle 2}$），記作${\displaystyle 6\nmid 20}$。在${\displaystyle \mid }$上加一條斜線即表示不整除。

運算方法

根據乘法表，兩個整數可以用長除法（直式除法）筆算。如果被除數有分數部分（或者說時小數點），計算時將小數點帶下來就可以；如果除數有小數點，將除數與被除數的小數點同時移位，直到除數沒有小數點。

算盤也可以做除法運算。

長除法

長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。

使用長除法計算${\displaystyle {{1260257}\div {37}}=34061}$的過程可以表示為：

${\displaystyle 1260257\div 37}$的演算過程

${\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}$

短除法

短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

• 使用短除法計算${\displaystyle 3\div 7}$的近似值：

${\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}$

• 使用短除法計算${\displaystyle 420}$的質因數分解：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}$

${\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}$

• 使用短除法計算${\displaystyle 420,270}$的最大公因數及最小公倍數：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}$

尺規作圖法

類似於乘法、冪運算和平方根，除法同樣可以用尺規作圖來表示。下文將展示兩種不同的操作方法：

一種方法是作圓法。

兩幅附圖分別展示了一種簡潔解法，該解法同時適用於 ${\displaystyle a:b}$ 及其倒數 ${\displaystyle b:a}$ 。圖中的虛線圓和弧並非解題所需，而憑通過弦定理，更清晰地展示證明過程。為方便對比，圖中各點的命名與弦定理引言圖一致。

以下僅針對${\displaystyle a<b}$ 的情況（圖1）說明構造步驟（至於 ${\displaystyle a>b}$ 的情況，見圖2）：

圖1
${\displaystyle a<b}$ 時的尺規作圖構造

圖2
${\displaystyle a>b}$ 時的尺規作圖構造

1. 在數軸上，將長度 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 的兩條共線線段分別標記為線段 ${\displaystyle {\overline {DS}}}$ 和 ${\displaystyle {\overline {SB}}}$ ；
2. 過點 ${\displaystyle S}$ 作 ${\displaystyle {\overline {DB}}}$ 的垂線，並作一條與 ${\displaystyle {\overline {DB}}}$ 距離為1的平行線，兩線交於點 ${\displaystyle C}$ 。為確定過點 ${\displaystyle C}$ 的弧 ${\displaystyle k_{b}}$ 的圓心 ${\displaystyle M}$ ，需作弦 ${\displaystyle {\overline {DC}}}$ 和 ${\displaystyle {\overline {CB}}}$ 的兩條中垂線（圖中未畫出）；
3. 繪製弧 ${\displaystyle \mathrm {arc} \;MBD}$ ，其與另一輔助線交於點 ${\displaystyle E}$ ；
4. 連接點 ${\displaystyle D}$ 和 ${\displaystyle E}$ ，該連線與過 ${\displaystyle C}$ 作的垂線交於 ${\displaystyle C'}$ ；
5. 從點 ${\displaystyle B}$ 出發，作過 ${\displaystyle E}$ 的射線，直至其與過 ${\displaystyle C}$ 作的垂線交於 ${\displaystyle C''}$ 。

至此，構造基本完成。為避免出現重疊， ${\displaystyle {\overline {FD}}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {C''S}}}$ 的長度關係需單獨說明。

對圖1的證明：

在以 ${\displaystyle M'}$ 為圓心的圓 ${\displaystyle k_{2}}$ 中應用弦定理可得：

${\displaystyle {\overline {A'S}}\cdot {\overline {C'S}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}\Rightarrow }$

${\displaystyle a:b={\overline {C'S}}={\frac {{\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}}{\overline {A'S}}}.}$

在以 ${\displaystyle M''}$ 為圓心的圓 ${\displaystyle k_{3}}$ 中應用弦定理可得：

${\displaystyle {\overline {A''S}}\cdot {\overline {C''S}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}\Rightarrow }$

${\displaystyle b:a={\overline {C''S}}={\overline {FD}}={\frac {{\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}}{\overline {A''S}}}.}$

另一種方法是利用截線定理，用尺規作全等三角形。（圖3）具體步驟如下：

圖3
${\displaystyle a/b}$ 時的尺規作圖構造

1. 自點 ${\displaystyle A}$ 引出第一條射線；
2. 在該射線上，以 ${\displaystyle A}$ 為起點，先截取長度為 ${\displaystyle 1}$ 的線段 ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ，再截取長度為 ${\displaystyle b}$ 的線段 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ；
3. 自點 ${\displaystyle B}$ 出發，在與 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ 成任意角 ${\displaystyle \alpha }$ 的方向上截取長度為 ${\displaystyle a}$ 的線段 ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ；
4. 過點 ${\displaystyle D}$ 作自點 ${\displaystyle A}$ 引出的第二條射線；
5. 自點 ${\displaystyle E}$ 作與 ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ 平行的直線，該直線與第二條射線的交點 ${\displaystyle C}$ 所對應的線段 ${\displaystyle {\overline {EC}}}$ 即為所求商 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 的長度。

關於「除以零」

主條目：除以零

「除以零」有意義嗎？

在標準數學體系中，除以零被定義為「未定義」操作，因其與「零乘任何有限數恆為零」相悖^[4]，計算器輸入此類表達式也會報錯。但在零環和輪代數（英語：Wheel theory）等高階數學結構中，通過重新定義運算規則，除以零可被賦予特定意義。

1 : 0 是否等於∞?

${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$在平面直角坐標系上的函數圖象

部分人認為，這個問題應當賦予「∞」的解，因為經驗表明，當分配者數量趨近於零時，每個個體獲得的量會趨向無限。然而，這種直覺在數學體系中會引發根本性矛盾。

首先，引入「∞」這一「值」將導致環及其算術體系的瓦解。具體表現為：

• 傳統算術運算規則失效（如 ∞ ${\displaystyle -}$ ∞ 未定義）
• 出現大量不定式（如${\displaystyle 1:0}$型表達式）
• 需另外建立特殊處理法則

其次，通過極限理論，在x=0處，函數 ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ 同時具有正負兩個方向的發散趨勢：

• 右極限：${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\tfrac {1}{x}}=+\infty .}$
• 左極限：${\displaystyle \lim _{x\to -0}{\tfrac {1}{x}}=-\infty .}$

由於正負無窮不可比較，該點不存在傳統意義上的極限值。

而且，在有理數集 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 和實數集 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中，引入無窮大會破壞原有序關係，導致比較運算的邏輯悖論。

最後，直接承認方程式 ${\displaystyle 0\cdot x=1}$ 無解具有顯著優勢：

• 保持算術體系自洽性
• 避免引入矛盾性概念
• 更利於誤差處理（如編程中的除零異常）

接受該方程式無解的樸素事實，並藉助分析學工具（如羅必達法則）處理相關問題，是更為合理且自洽的解決方案。

參見

• 籌算除法
• 同餘
• 餘數
• 帶餘除法