极限比较审敛法

極限比較審斂法是判別級數斂散性的一種方法。

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
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閱 論 編

描述

假設存在兩個級數${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$與${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$，且對於任意${\displaystyle n}$都有${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$。

如果${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$（${\displaystyle 0<c<\infty }$），那麼兩級數同時收斂或發散。

證明

對${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$，我們知道對於任意${\displaystyle \varepsilon >0}$都存在一正整數${\displaystyle n_{0}}$使得當${\displaystyle n\geq n_{0}}$ 時有${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$，等價於

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

由於${\displaystyle c>0}$，我們可以讓${\displaystyle \varepsilon }$足夠小使得${\displaystyle c-\varepsilon }$為正。 因此${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$，根據比較審斂法，如果${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$收斂，則${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$同樣收斂。

類似地，${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$，如果${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$收斂，根據比較審斂法，${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$亦收斂。

因此二者同時收斂或發散。

例子

判斷${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}$是否收斂。我們將其與收斂級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$進行比較。

由於${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}$，我們可以得出原級數收斂。

參見

• 審斂法
• 比較審斂法

參考來源

• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)

外部連結

• Pauls Online Notes on Comparison Test