貝特朗判別法

貝特朗判別法（英語：Bertrand's test）是正項級數斂散性的一種判別方法，分析通過級數項作成的形如${\displaystyle \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln {n}}$序列的極限，可以更為精細地討論級數的收斂性，可以看作達朗貝爾判別法、拉阿伯判別法或庫默爾判別法（英語：Ratio test#5. Kummer’s test）的推論。

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
審斂法 項測試 · 比較審斂法 · 極限比較審斂法 ·根值審斂法 · 比值審斂法 · 柯西判別法 · 柯西並項判別法 · 拉比判別法 · 高斯判別法 · 積分判別法 · 魏爾施特拉斯判別法 · 貝特朗判別法 · 狄利克雷判別法 · 阿貝爾判別法 · 庫默爾判別法 · 斯托爾茲—切薩羅定理 · 迪尼判別法 級數 調和級數 · 調和級數 · 冪級數 · 泰勒級數 · 傅立葉級數
閱 論 編

定理

設${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是欲判斷斂散性的級數，定義序列

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}=\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln n.}$

設它具有極限 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{\mathcal {B}}_{n}}={\mathcal {B}}}$

那麼：

• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}>1}$，級數收斂；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}<1}$，級數發散；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}=1}$，則級數的斂散性暫時不能確定^[1]。

證明

在庫默爾判別法（英語：Ratio test#5. Kummer’s test）中取${\displaystyle c_{n}=n\ln n(n\geq 2)}$，這樣的選取是可以允許的，因為級數${\displaystyle \sum {\frac {1}{n\ln n}}}$發散。

在這情形下有${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}=n\ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)}$。

也可以表示成${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}={\mathcal {B}}_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}$。

其中${\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]=\ln n\cdot \left({\mathcal {R}}_{n}-1\right)}$，這就得到了貝特朗判別法。