高斯判別法

高斯判別法是正項級數斂散性的一種判別方法，方法是將級數相鄰項的比（${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$）寫成${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$的線性函數和餘項（與有界量相乘的${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}}$）之和，分析各係數來判斷級數收斂與否，可以視作達朗貝爾判別法、拉阿伯判別法和貝特朗判別法的推論。

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
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閱 論 編

定理

設${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是要判斷斂散性的級數，其中（至少從某一項開始）${\displaystyle a_{n}>0}$。倘若其相鄰項比值${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$可以被表示為：

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}}$

其中${\displaystyle \lambda }$和${\displaystyle \mu }$都是常數，而${\displaystyle \theta _{n}}$是一個有界的序列，那麼 ^{[1][2][3][4][5]}：

• 當 ${\displaystyle \lambda >1}$或${\displaystyle \lambda =1,\mu >1}$時，級數收斂；
• 當${\displaystyle \lambda <1}$或${\displaystyle \lambda =1,\mu \leq 1}$時，級數發散。

證明：

${\displaystyle \lambda \neq 1}$時，因${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{\lambda }}}$，可用達朗貝爾判別法判別； ${\displaystyle \lambda =1}$而${\displaystyle \mu \neq 1}$時，因${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1)}=\mu }$，可用拉阿伯判別法判別； ${\displaystyle \lambda =\mu =1}$時，因${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\ln {({\frac {n^{2}a_{n}}{a_{n+1}}}-n^{2}-n)}}=\lim _{n\to \infty }{{\frac {\ln {n}}{n}}\theta _{n}}=0}$，依據貝特朗判別法，級數發散。