動差估計

在統計學中，動差估計（英語：method of moments）是估計母體母數的方法。首先推導涉及感興趣的母數的母體動差（即所考慮的隨機變數的冪的期望值）的方程式。然後取出一個樣本並從這個樣本估計母體動差。接著使用樣本動差取代（未知的）母體動差，解出感興趣的母數。從而得到那些母數的估計。動差估計是英國統計學家卡爾·皮爾森於1894年提出的。

方法

假設問題是要估計表徵隨機變數${\displaystyle W}$的分布${\displaystyle f_{W}(w;\theta )}$的${\displaystyle k}$個未知母數${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}}$。如果真實分布（"母體動差"）的前${\displaystyle k}$階動差可以表示成這些${\displaystyle \theta }$的函數:

${\displaystyle \mu _{1}\equiv E[W]=g_{1}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}),}$

${\displaystyle \mu _{2}\equiv E[W^{2}]=g_{2}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}),}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \mu _{k}\equiv E[W^{k}]=g_{k}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}).}$

設取出一大小為${\displaystyle n}$的樣本，得到${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$。對於${\displaystyle j=1,\dots ,k}$，令

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{j}}$

為j階樣本動差，是${\displaystyle \mu _{j}}$的估計。${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}}$的動差估計量記為${\displaystyle {\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}}$，由這些方程式的解（如果存在）定義：^{[來源請求]}

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}=g_{1}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}),}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}=g_{2}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}),}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{k}=g_{k}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}).}$

參見

• 廣義動差估計
• 點估計
• 估計量的偏誤