穩定流形

在數學動力系統的研究中，穩定（或不穩定）流形指的是以指數率趨向（或遠離）某一不變集的點的集合。

定義

以下提供迭代函數或離散動態系統情況下的定義。類似的概念適用於時間演變是由流給出的系統。

令${\displaystyle M}$是拓撲空間，${\textstyle f\colon X\to X}$是同胚的。如果${\textstyle p}$是${\textstyle f}$的不動點，${\textstyle p}$的穩定集定義為

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}$

而${\textstyle p}$的不穩定集定義為

${\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}$

其中${\displaystyle f^{-1}}$是${\textstyle f}$的反函數。

如果${\textstyle p}$是一個周期為${\displaystyle k}$的週期點，那麼他就是${\displaystyle f^{k}}$的不動點，而且對其穩定集和不穩定集有

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{s}(f,p)&=W^{s}(f^{k},p),\\W^{u}(f,p)&=W^{u}(f^{k},p).\end{aligned}}}$

給定${\textstyle p}$的鄰域${\displaystyle {U}}$，${\textstyle p}$的局部穩定和不穩定集分別定義為

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)&=\{q\in U:f^{n}(q)\in U\;\forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\},\\W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)&=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).\end{aligned}}}$

如果${\displaystyle X}$可度量化，那麼對任意點${\textstyle p}$也可以定義穩定和不穩定集為

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{s}(f,p)&=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \},\\W^{u}(f,p)&=W^{s}(f^{-1},p),\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle d}$是${\displaystyle X}$的度量（這個定義清楚的會和前面週期點的情況相符合）。

相關條目

• 極限集合
• 朱利亞集合
• 中心流形
• 穩定流形定理

參考資料

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. Reading Mass.: Benjamin/Cummings. 1978. ISBN 0-8053-0102-X.
• Sritharan, S. S. Invariant Manifold Theory for Hydrodynamic Transition. New York: John Wiley & Sons. 1990. ISBN 0-582-06781-2.
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