提示:此條目的主題不是範數。在域論,範數是一種映射。 設 K {\displaystyle K} 為域, L {\displaystyle L} 是 K {\displaystyle K} 的有限代數擴張。將 α {\displaystyle \alpha } 與 L {\displaystyle L} 的一個元素相乘,是一個線性變換: m α : L → L {\displaystyle m_{\alpha }:L\to L} N L / K ( α ) {\displaystyle N_{L/K}(\alpha )} 定義為 m α {\displaystyle m_{\alpha }} 的行列式。 因此可得 N L / K {\displaystyle N_{L/K}} 的性質: N L / K ( α ) ∈ K ∀ α ∈ L {\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in K\forall \alpha \in L} N L / K ( α β ) = N L / K ( α ) N L / K ( β ) {\displaystyle N_{L/K}(\alpha \beta )=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )} 若 L / K {\displaystyle L/K} 為伽羅瓦擴張, N L / K ( α ) {\displaystyle N_{L/K}(\alpha )} 是 α {\displaystyle \alpha } 所有共軛的積,即是 α {\displaystyle \alpha } 的極小多項式的所有根的積。 代數整數的範數仍是代數整數。 在代數數論亦可為理想定義範數。若 I {\displaystyle I} 是代數數域 K {\displaystyle K} 的整數域 O k {\displaystyle O_{k}} 中的理想, N ( I ) {\displaystyle N(I)} 是 O k / I {\displaystyle O_{k}/I} 的剩餘類的數目。 Remove ads例子 複數的範數:對於 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } ,對於複數此一實數域擴張, N ( a + b i ) = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 {\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}} ,即複數和其共軛複數之積,因為 a + b i {\displaystyle a+bi} 在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的極小多項式的根是 a ± b i {\displaystyle a\pm bi} 。 設 L = Q ( 2 ) , K = Q , φ = ( 1 + 5 ) / 2 {\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),K=\mathbb {Q} ,\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2} (黃金分割)。 N ( φ ) = ( 1 − 5 ) ( 1 + 5 ) / 4 = 1 {\displaystyle N(\varphi )=(1-{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})/4=1} ,因為它在 L {\displaystyle L} 的極小多項式是 x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{2}-x-1} 。 Remove adsLoading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads