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處處不連續函數
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處處不連續函數是一數學名詞,是指在其定義域上的每一點都不連續的函數。若f(x)為一函數,定義域和值域都是實數,若針對每一個x,都存在ε > 0 ,使得針對每一個δ > 0,都可以找到y,使下式成立,則f(x)為處處不連續函數:
- 0< |x − y| < δ 且|f(x) − f(y)| ≥ ε
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換句話說,不論距固定點多近,都有距固定點更近的點使函數的值偏離固定點對應的值。例如狄利克雷函數就是一個處處不連續函數。
處處不連續函數的性質不是函數典型的現象,有病態特性。
處處不連續函數的範例
狄利克雷函數(英語:Dirichlet function)是一個定義在實數範圍上、值域為的不連續函數,是有理數的指示函數。
當
將此例擴展來看,若是拓撲空間裡的子集,使得和其補集在空間內都是稠密集,則的指標函數(若在內,其值為1,不在內,其值為0)就會是處處不連續函數。最早研究這類函數的人是約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷[1]。
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康威十三進制函數也是處處不連續函數,此函數是由英國數學家約翰·康威所構建的,此函數和連續函數一樣,具有介值性,但卻是處處不連續函數。
超實數特性
一實數函數f為處處不連續,若其超實數延伸有以下的特性:每一個無限接近一個x都有一個無限接近的點y,使得距離f(x)-f(y)不是無窮小量。
相關條目
- Thomae函數:在無理數下連續,但在有理數下不連續的函數。
- 魏爾斯特拉斯函數:一個處處連續,但處處不可微分的函數。
參考資料
外部連結
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