虛數單位

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程式，但可以通過虛數單位將實數系統${\displaystyle \mathbb {R} }$延伸至複數系統${\displaystyle \mathbb {C} }$。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位通常標記為${\displaystyle i}$，但在涉及電氣、電機工程等電學相關領域時，則往往標記為${\displaystyle j}$，這是為了避免與電流（記為${\displaystyle i(t)}$或${\displaystyle i}$）相混淆。

虛數單位${\displaystyle i}$在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

定義

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle {{i}^{-{3}}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{-{2}}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{-{1}}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{0}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{1}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{3}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{4}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{5}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{6}}=-1}$

${\displaystyle \ldots }$

虛數單位${\displaystyle i}$定義為二次方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

${\displaystyle {{x}^{2}}=-1}$。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號${\displaystyle i}$。很重要的一點是，${\displaystyle i}$是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$

然而${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為${\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}$，但是-1不等於1。

但請注意：${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$成立的條件有${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設${\displaystyle i}$是一個未知數，然後依照${\displaystyle i}$的定義，替代任何${\displaystyle i^{2}}$的出現為-1。${\displaystyle i}$的更高整數冪數也可以替代為${\displaystyle -i}$，${\displaystyle 1}$，或${\displaystyle i}$，根據下述方程式：

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}$，

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}$，

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}$。

一般地，有以下的公式：

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$

其中${\displaystyle {\bmod {4}}}$表示被4除的餘數。

補充定義

虛數單位 ${\displaystyle i}$ 是複數域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中的一個基本元素，其核心性質由以下等價方式之一定義：

代數定義

作為二次方程式 ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ 的一個解。即，${\displaystyle i}$ 是滿足方程式

${\displaystyle i^{2}=-1}$

的數。由於該方程式在實數域 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 內無解，引入 ${\displaystyle i}$ 是構造更廣的數系——複數域的關鍵步驟。

作為有序對

在複數嚴格的公理化構造中，複數定義為有序對 ${\displaystyle (a,b)}$，其中 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$。在此框架下，虛數單位 ${\displaystyle i}$ 被定義為有序對

${\displaystyle i:=(0,1)}$。

而複數的乘法規則定義為 ${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$。由此可驗證：

${\displaystyle i^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)=-1}$。

這一定義完全繞開了「負數的平方根」這一初始概念，從而在邏輯上更為基礎。

i和-i

方程式${\displaystyle x^{2}=-1}$有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛虛數及倒數。更加確切地，一旦固定了方程式的一個解${\displaystyle i}$，那麼${\displaystyle -i}$（不等於${\displaystyle i}$）也是一個解，由於這個方程式是${\displaystyle i}$的唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，並固定為${\displaystyle i}$，那麼實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然${\displaystyle -i}$和${\displaystyle i}$在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是${\displaystyle i}$和${\displaystyle -i}$之間沒有質量上的區別（-1和+1就不是這樣的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

${\displaystyle -i^{2}=1}$

${\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}$

正當的使用

虛數單位有時記為${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如，公式${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$僅對於非負的實數${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$才成立。

假若這個關係在虛數仍成立，則會出現以下情況：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$（不正確）

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}$（不正確）

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}$（不正確）

與主平方根的關係

在複數域中，「平方根」是一個多值函數。對於非負實數 ${\displaystyle a}$，符號 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ 通常指其唯一的非負實平方根（稱為**主平方根**或**主平方根**）。然而，對於負數或一般的複數，符號 ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ 必須明確其分支的選擇。通常，複數的**主平方根**函數定義為其輻角落在區間 ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ 內的那個根。 在這種約定下，${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 的主值是 ${\displaystyle i}$（而非 ${\displaystyle -i}$）。即便如此，涉及多個複數的主平方根的恆等式也普遍不成立。因此，在處理複數時，最安全且清晰的做法是直接使用符號 ${\displaystyle i}$ 及其基本性質 ${\displaystyle i^{2}=-1}$ 進行計算，避免對負數直接應用根號運算法則。

i的運算

虛數單位${\displaystyle i}$的平方根在複平面的位置

利用複數的運算規則和歐拉公式，可以對虛數單位 ${\displaystyle i}$ 進行各種數學運算，包括平方根、冪、對數和三角函數。以下運算除特殊說明外，均為與 ${\displaystyle i}$ 有關的多值函數，在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

基本運算與冪循環

虛數單位 ${\displaystyle i}$ 的整數冪遵循一個週期為4的循環：

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{1}&=i,\\i^{2}&=-1,\\i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,\end{aligned}}}$

一般地，對任意整數 ${\displaystyle n}$，有：

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$

其中 ${\displaystyle {\bmod {4}}}$ 表示被4除的餘數。

平方根

${\displaystyle i}$ 的平方根為：

${\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

使用主平方根符號表示其主值：

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

其解法為先假設兩實數 ${\displaystyle x}$ 及 ${\displaystyle y}$，使得 ${\displaystyle (x+iy)^{2}=i}$，然後求解 ${\displaystyle x,y}$。^[1]

一般冪運算

利用歐拉公式 ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$，可以將虛數單位表示為指數形式：

${\displaystyle i=e^{i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)}}$，其中 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 為任意整數。

由此可推導出更一般的冪運算公式。設 ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$，且 ${\displaystyle a>0}$，則有：

• 以 ${\displaystyle i}$ 為指數的冪（實數的虛數次冪）：

${\displaystyle a^{i}=e^{i\ln a}=\cos(\ln a)+i\sin(\ln a)}$

這是一個模為1的複數，其幾何意義是在複數平面上將點1旋轉 ${\displaystyle \ln a}$ 弧度。

• 以虛數為指數的冪（實數底數的純虛數次冪）：

${\displaystyle a^{bi}=e^{bi\ln a}=\cos(b\ln a)+i\sin(b\ln a)}$

• 複數的複數次冪（最一般的情況）：

${\displaystyle a^{b+ci}=a^{b}\cdot a^{ci}=a^{b}\left[\cos(c\ln a)+i\sin(c\ln a)\right]}$

此公式清晰地分離了結果在複數平面上的**伸縮因子** ${\displaystyle a^{b}}$ 和**旋轉因子** ${\displaystyle a^{ci}}$。

• 最為人熟知的特例：${\displaystyle i}$ 的 ${\displaystyle i}$ 次冪

${\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}$，${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

代入不同的 ${\displaystyle k}$ 值，可計算出無限多的解。當 ${\displaystyle k=0}$ 時，得到其主值 ${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }$ 0.207879576...^[2]

對數

• 以 ${\displaystyle i}$ 為底的對數：

對於正實數 ${\displaystyle x>0}$，有：

${\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }=-i\cdot {\frac {2\ln x}{\pi }}}$（取主值）

• 更一般地，對於正實數 ${\displaystyle a>0}$ 且 ${\displaystyle a\neq 1}$，以 ${\displaystyle i}$ 為底的對數可由換底公式導出：

${\displaystyle \log _{i}a={\frac {\ln a}{\ln i}}={\frac {\ln a}{i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)}}=-i\cdot {\frac {2\ln a}{(4k+1)\pi }}}$， ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$。

這是一個純虛數，且由於 ${\displaystyle \ln i}$ 的多值性，其結果也有無窮多個值。

三角與雙曲函數

以下恆等式揭示了虛數單位如何聯繫三角函數與雙曲函數，這是歐拉公式的直接推論。對於實數 ${\displaystyle x}$：

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(ix)&=\cosh x\\\sin(ix)&=i\sinh x\\\tan(ix)&=i\tanh x\end{aligned}}}$

這些公式表明，對虛自變數的三角函數求值，會轉化為實自變數的雙曲函數。

作為直接應用，可以計算：

${\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx 1.54308064...}$

${\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx (1.17520119...)i}$

在程式語言

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
• 但Lisp的許多實現與方言，如Common Lisp，內建虛數和複數的支持。不少動態語言受其影響，也在語言本身或標準庫中支持虛數和複數，如Python、Ruby。
• 一些傳統程式語言，如C語言，也從C99開始支持虛數和複數。
• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
• Go語言於第 1.0 版就內建虛數和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128^[3]。

代碼示例

以下是一些程式語言中定義虛數單位 ${\displaystyle i}$ 及進行基本複數運算的方法：

程式語言	示例代碼 (定義虛數單位與基礎運算)	備註與輸出示例
Python	# 虚数单位用后缀 j 表示 i = 1j print(f"虚数单位 i = {i}") print(f"i 的平方 i² = {i ** 2}") # 输出：虚数单位 i = 1j # 输出：i 的平方 i² = (-1+0j) # 复数构造与运算 z1 = 3 + 4j # 复数字面量 z2 = complex(1, -2) # complex(实部, 虚部) 函数 print(f"复数 z1 = {z1}") print(f"复数 z2 = {z2}") print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}") # 加法：(4+2j) print(f"z1 * z2 = {z1 * z2}") # 乘法：(11-2j) # 使用 cmath 模块进行更多运算 import cmath print(f"e^(i*π) = {cmath.exp(1j * cmath.pi)}") # 欧拉公式，近似 (-1+1.2246467991473532e-16j)	* Python 原生支持複數類型，屬於 complex 類。 虛部使用後綴 j 或 J 表示。 可用 real 和 imag 屬性獲取實部與虛部。 cmath 模塊提供複變函數。
C語言 (C99標準)	#include <complex.h> #include <stdio.h> int main(void) { // 宏 I 表示虚数单位 i double complex i = I; double complex z1 = 3.0 + 4.0 * I; double complex z2 = 1.0 - 2.0 * I; // 基本运算 double complex i_squared = i * i; double complex sum = z1 + z2; double complex product = z1 * z2; // 输出结果，creal()和cimag()分别提取实部和虚部 printf("i² = %.2f %+.2fi\n", creal(i_squared), cimag(i_squared)); // 输出：i² = -1.00 +0.00i printf("z1 + z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(sum), cimag(sum)); // 输出：z1 + z2 = 4.00 +2.00i printf("z1 * z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(product), cimag(product)); // 输出：z1 * z2 = 11.00 -2.00i return 0; }	* 需包含 <complex.h> 頭文件，並使用標準宏 I 表示虛數單位。 複數類型為 double complex、float complex 等。 運算符號（+, *, -）與普通算術一致。 使用 creal() 和 cimag() 函數提取複數的實部與虛部。 編譯時需支持C99標準（如使用 gcc -std=c99）。